FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD

FUNDAMENTOS BÁSICOS DE ELECTRICIDAD

Definiciones matemáticas de interés:

Derivada de una función:

La derivada de una función matemática y = f(x) se define como la fórmula matemática cuyo valor depende de la variable x mediante la cual se calcula el cambio instantáneo de la función matemática con relación a la variable x. El valor que arroja la fórmula matemática de la derivada para un valor determinado de x es igual a la pendiente de la recta que es tangente al punto de la curva de la función que corresponde al valor determinado de x.

Ejemplo:

y = f(x) = 3x² + 2

Halle la fórmula matemática de la derivada de la función anterior ( dy / dx ), el valor de la derivada para x = 1,0 y calcule la función de la recta tangente del punto cuyas coordenadas son ( f(x = 1) , x = 1).

Solución:

dy / dx = 6x

para x = 1 el valor de la derivada es, claramente, igual a 6,0. Este valor corresponde a la pendiente de la recta tangente. Así se obtiene:

m = 6

La fórmula de la recta tangente al punto ( f(x = 1) , x = 1) es de la forma:

g(x) = mx + d

Ya se calculó el valor de la pendiente m. Es hora de calcular el valor de la constante d. Para esto, sabemos que esta recta tangente tiene que pasar por el punto ( f(x = 1) , x = 1). Por tanto, calculamos f(x = 1).

f(x) = 3x² + 2

Para x = 1 se obtiene:

f( x = 1) = ( 3 (1)² ) + 2 = 5

Así la recta tangente tiene que pasar por el punto (5,1). Por lo tanto:

g(1) = 5 = mx + d

m = 6

Reemplazando:

g(1) = 5 = ( (6) (1) ) + d

Despejando:

d = 5 - 6 = - 1

De esta forma, la fórmula de la recta tangente que pasa por las coordenadas (5,1) de la función matemática f(x) = 3x² + 2 es igual a:

g(x) = 6x - 1

Con respecto a una variable física que varía con el tiempo, una forma más sencilla de entender el concepto de derivada es definirla como el cociente de la variación o el cambio de una variable física en un lapso de tiempo determinado dividida entre el valor de ese lapso de tiempo.

Ejemplo: Calcule la velocidad promedio en km / hora de un automóvil si esta velocidad fue constante durante un intervalo de dos horas y durante ese lapso de tiempo el automóvil recorrió 120 km.

Solución: Sabemos que:

v = dx / dt

Donde:

v es la velocidad en km / hora

x es la distancia recorrida en km

t es el tiempo en horas.

Como la velocidad fue constante entonces:

v = Δx / Δt = (120 - 0) / (2 - 0) = 60 km / hora

v = 60 km / hora

La integral:

De acuerdo a la teoría de cálculo integral, existen dos tipos de integrales: La integral indefinida y la integral definida. La integral definida es igual al área bajo la curva de una función, como se muestra en la figura anterior. La integral de una función f(x) puede definirse como la sumatoria de las áreas definidas por el producto de f(x) dx donde dx es el diferencial de la variable x y f(x) es uno de los valores de la función y = f(x) en el rango de integración desde x2 hasta x1.

Ejemplo: Calcule la función de distancia recorrida en km del ejemplo anterior y verifique el valor de la distancia recorrida que es igual a 120 km.

Solución:

Sabemos que:

v = dx / dt

Donde:

v es la velocidad en km / hora

x es la distancia recorrida en km

t es el tiempo en horas.

v = dx / dt

dx = v dt

Despejando:

ʃ dx = ʃ v dt

x = ʃ v dt

v = 60 km / hora

Reemplazando:

x = ʃ 60 dt

x = 60 t + constante

Como consideramos que la distancia inicial recorrida es igual a cero entonces:

constante = 0

x = 60 t

Para t = 2 horas se tiene:

x = 60 x 2

x = 120 km

Ejercicio: Un vehículo acelera de forma lineal su velocidad desde 0 a 100 km / hora en 5 minutos. Hallar la distancia recorrida por el vehículo en esos 5 minutos y la aceleración del vehículo.

Sistema Internacional de unidades: Es el sistema de unidades adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas en 1960. El S.I tiene como unidades básicas: El metro (m) que mide la distancia, el kilogramo (kg) que mide la masa y el segundo (s) que mide el tiempo. En términos eléctricos, el S.I utiliza, entre otras, las siguientes unidades:

El Coulomb (C) es la unidad de carga eléctrica.

El Ampere (A) es la unidad de corriente eléctrica.

El Volt (V) es la unidad de voltaje o diferencia de tensión.

FUERZA = MASA x ACELERACIÓN

El Newton (N) es la unidad que mide la fuerza. Así se tiene:

1 N = 1 (kg m) / s²

ENERGÍA = FUERZA x DISTANCIA

El Joule (J) es la unidad fundamental del trabajo o la energía. Para este caso, se obtiene:

1 J = 1 N m

ENERGÍA = POTENCIA x TIEMPO

POTENCIA = ENERGÍA / TIEMPO

El Watt (W) es la unidad fundamental de potencia. De esta manera, se tiene:

1 W = 1 J / s

1 J = 1 W s

En Colombia la unidad que usualmente se utiliza para medir la energía activa eléctrica consumida por los usuarios regulados es el kWh. Para pasar de kWh a Joules se realiza el siguiente procedimiento:

1 kWh = 1 kWh x (1000 W / 1 kW) x ( (60 x 60) s ) / 1 h ) = 36 x 10⁵ W s

1 kWh = 36 x 10⁵ J x (10 / 10)

1 kWh = 3,6 x 10⁶ J

Carga Eléctrica: Letra que identifica la variable = q. Unidad de medida = Coulomb (C). Es la ausencia o el exceso de electrones que están presentes en un material conductor como el cobre o el aluminio.

Fórmula matemática.

q = C V

Donde:

q es la carga eléctrica en Coulombs.

C es la capacitancia en Faradios.

V es la diferencia de tensión en Volts entre los terminales del capacitor.

La materia está compuesta por átomos. Los átomos, fundamentalmente, están compuestos por protones, neutrones y electrones. Los protones corresponden a las cargas positivas, los neutrones no tienen carga y los electrones tienen carga negativa. En condiciones normales, el átomo es eléctricamente neutro, porque la carga negativa está balanceada con la carga positiva. Tal como se muestra a continuación:

No se puede olvidar que las cargas de signos iguales se repelen y las cargas de signos opuestos se atraen, como se puede apreciar en la siguiente figura:

Los átomos pueden cargarse positivamente al ceder electrones a otros átomos y también pueden cargarse negativamente al obtener electrones de otros átomos. Cuando un conductor fabricado de cobre o aluminio es sometido a un campo eléctrico, producto de una fuente que proporciona una diferencia de tensión entre los terminales del conductor, los átomos del conductor comienzan a cargarse positiva y negativamente. Esto genera una circulación de corriente porque los electrones de un átomo se ven atraídos por los huecos de los otros electrones, tal como se aprecia en la siguiente figura:

Desde el punto de vista de la teoría de circuitos, se debe tener en cuenta que en un elemento de consumo eléctrico o elemento pasivo de circuito, el sentido de la corriente eléctrica es contrario al sentido de la tensión aplicada, tal como se muestra a continuación:

Para entender más claramente el concepto de carga eléctrica, el lector puede ver el video correspondiente al siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=ej6lS9zYy6U

Tensión: Letra que identifica la variable = V. Unidad de medida = Volt (V). Es la energía potencial por unidad de carga eléctrica que permite la circulación de corriente en un circuito cerrado. La anterior figura corresponde, precisamente, a un circuito en DC. Si tenemos en cuenta que la energía en el Sistema Internacional de unidades está dada en Watt (W), entonces se obtiene:

V = w / q

Donde:

V es la tensión en Volts.

w es el trabajo o la energía en Joules.

q es la carga eléctrica en Coulombs.

Dimensionalmente hablando se tiene:

[ V ] = [ J ] / [ C ]

Donde:

[ V ] es Volt.

[ J ] es Joule.

[ C ] es Coulomb.

En términos eléctricos, si se tiene una carga resistiva (factor de potencia igual a 1), se obtiene:

[ W ] = [ V ] [ A ]

[ J ] = [ W ] [ s ]

Reemplazando:

[ J ] = [ V ] [ A ] [ s ]

Donde:

[ W ] es Watts.

[ J ] es Joule.

[ V ] es Volt.

[ A ] es Amperio (la unidad de la corriente eléctrica).

[ s ] es segundos.

La anterior fórmula dimensional tiene su raíz en la relación matemática simplificada entre la energía y la potencia:

ENERGÍA = POTENCIA x TIEMPO

Despejando:

POTENCIA = ENERGÍA / TIEMPO

Donde la potencia aparente en electricidad tiene como unidades el Voltioamperio (VA).

De esta manera:

V = w / q

La anterior expresión en términos de dimensiones equivale a:

[ V ] = [ J ] / [ C ]

[ J ] = [ V ] [ A ] [ s ]

Reemplazando, se obtiene:

[ V ] = ( [ V ] [ A ] [ s ] ) / [ C ]

Eliminando [ V ] en ambos lados de la ecuación y despejando se obtiene:

[ A ] = [ C ] / [ s ]

Que significa:

1 Amperio = 1 Coulomb / segundo

Lo cual coincide con la definición de Corriente Eléctrica:

i = dq / dt

Que significa que la Corriente Eléctrica es igual a la derivada o la variación de la carga eléctrica con respecto al tiempo.

Una forma más fácil de entenderlo es mediante la expresión:

i = Δq / Δt

Donde:

i es la corriente eléctrica en amperios.

Δq es la variación de la carga eléctrica en Coulombs para un tiempo Δt.

Δt es el lapso de tiempo en segundos en los cuales la carga eléctrica sufre una variación en su magnitud igual a Δq.

La expresión matemática i = dq / dt significa que la corriente eléctrica es el cociente de la variación de la carga eléctrica en un lapso de tiempo muy pequeño dividida entre ese mismo lapso de tiempo. Ese es el concepto matemático de la derivada de una función.

A la tensión también se le conoce como: Nivel de tensión, diferencia de tensión, nivel de potencial, diferencia de potencial.

A la tensión se le llama diferencia de tensión o diferencia de potencial porque para un elemento pasivo, como el que se muestra en la figura anterior, se tiene:

V = Vab = Va - Vb

Donde:

Vab es la diferencia de potencial entre el punto a y el punto b.

Va es la diferencia de tensión entre el punto a y la tierra.

Vb es la diferencia de tensión entre el punto b y la tierra.

Corriente: Letra que identifica la variable = i. Unidad de medida = Amperio (A). Es la circulación de electrones por un material conductor. De acuerdo a la teoría de circuitos: El sentido de la corriente es el sentido de los portadores positivos de carga o los iones positivos. Este sentido es el mismo sentido de los huecos, cuyo origen se explicó con anterioridad en la teoría de la carga eléctrica q dada en Coulombs.

Fórmulas matemáticas.

i = dq / dt

i = V / R

Para entender claramente el concepto de corriente eléctrica, el lector puede apreciar el video correspondiente al siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=6rspgk0TXBM

Resistencia: Letra que identifica la variable = R ó r. Unidad de medida = Ohmio (Ω). Es la oposición al paso de la corriente dentro de un elemento resistivo puro. Existe resistencia DC y resistencia AC. La resistencia DC se puede medir con un multímetro digital. La resistencia AC se puede calcular mediante la aplicación de la Ley de Ohm para una resistencia. La resistencia AC es mayor que la resistencia DC.

Para un circuito resistivo, como el que se aprecia en la figura que se presenta a continuación, se cumple que:

V = i x r

Donde:

V es la tensión en Volt aplicada a la resistencia r.

i es la corriente en Amperios que circula por la resistencia r.

r es el valor de la resistencia en Ohmios.

Esta formulación matemática se conoce como la Ley de Ohm para una resistencia o un elemento resistivo puro. Precisamente, en el circuito que se puede visualizar a continuación se puede apreciar como una fuente de tensión AC alimenta una resistencia en paralelo. Precisamente, los símbolos de la fuente de tensión AC y la resistencia se pueden apreciar en el siguiente circuito:

Donde:

i² = i x i

P = dw / dt expresa que la potencia es la derivada de la energía w con respecto al tiempo. Esta formulación matemática es mucho más exacta que la fórmula simplificada:

POTENCIA = ENERGÍA / TIEMPO

A la potencia activa P = i² r en Watts se le conoce como la pérdida de potencia de Joule. La pérdida de potencia de Joule es igual a la potencia activa que se pierde, en forma de calor, en un conductor por concepto del efecto resistivo del mismo conductor. Si la corriente es muy alta y supera la capacidad de corriente del conductor, este recalentamiento del conductor se puede volver muy peligroso al punto de producir un incendio.

En el anterior circuito se puede aplicar, perfectamente, la Ley de Ohm:

V = i x r

Despejando se obtienen dos fórmulas que también son de interés:

i = V / r

r = V / i

De las anteriores formulaciones se pueden establecer conclusiones muy importantes:

- A mayor tensión mayor corriente.

- A menor tensión menor corriente.

- A menor resistencia mayor corriente.

- A mayor resistencia menor corriente.

Ejemplo: Una resistencia de una estufa eléctrica presenta una corriente nominal igual a 8,33 Amperios. Esta resistencia presenta una tensión nominal igual a 120 VAC. Calcule el valor de la resistencia AC de la estufa y la potencia nominal de la misma en Watts.

Solución:

V = i x r

Despejando:

r = V / i = 120 / 8,33 = 14,4 Ω

Como toda la potencia que consume la resistencia está expresada en calor, la potencia activa de la resistencia es igual a la potencia Joule. De esta manera:

P = i² r = 8,33 x 8,33 x 14,4

P = 999,2 Watt

Ejercicio: La anterior resistencia permanece prendida durante 4 horas diarias durante los 30 días del mes. Calcule la energía en kWh que consume esta resistencia en el mes. Suponga que el nivel de tensión AC permanece constante durante todo el mes.

Ejercicio: Supongamos que la anterior resistencia puede aguantar hasta 220 VAC sin ningún problema. Suponga que esta misma resistencia se conecta a 208 Volts. Calcule la corriente en amperios que circularía bajo esta última condición.

Teniendo en cuenta las anteriores conclusiones, podemos entender las configuraciones que se presentan a continuación:

Para el caso de cortocircuito, despreciando la reactancia inductiva del conductor, la resistencia es igual a la resistencia del conductor, la cual, normalmente, es muy pequeña, lo cual produce:

i = V / R

Donde:

R es la resistencia del conductor. Como esta resistencia es cercana a cero, según la formula anterior, la corriente tiende a infinito o a un valor muy grande, lo cual es peligrosísimo porque se puede producir un incendio. Por eso, el cortocircuito se debe evitar a toda costa. De esta manera, los circuitos ramales tienen que estar protegidos por interruptores termomagnéticos en caso de corto o sobrecarga.

Para el caso de circuito abierto, la resistencia o la impedancia tienden a ser infinitas, lo cual produce:

i = V / R

Como R es infinita la corriente es igual a cero, que es el caso de un tomacorriente desconectado. Esto significa que el circuito tiene que cerrarse para que haya circulación de corriente.

Resistencia, inductancia e impedancia equivalentes en circuitos serie y paralelo: Antes de definir las fórmulas matemáticas de la resistencia, la inductancia y la impedancia equivalentes, es conveniente definir que es serie y que es paralelo.

En un circuito eléctrico dado se puede hallar un altísimo número de elementos, más si se tiene en cuenta todos los dispositivos que se utilizan en electrónica y todos los accesorios y equipos propios de las instalaciones en baja, media y alta tensión. Para poder entender los fundamentos de electricidad, solo será objeto de estudio los dos tipos fundamentales de elementos utilizados para el cálculo de la tensión, la corriente, la impedancia y las potencias activa, aparente y reactiva. Estos dos tipos fundamentales de componentes de un circuito eléctrico son los elementos activos y los elementos pasivos.

Los elementos activos: Corresponden a las fuentes de suministro de energía, las cuales pueden ser: Fuentes de tensión AC, fuentes de tensión DC, fuentes de corriente AC y fuentes de corriente DC. Estas fuentes pueden ser independientes o dependientes de alguna tensión o alguna corriente en el mismo circuito. En electricidad, normalmente, se trabaja con fuentes independientes. En electrónica se utilizan tanto fuentes dependientes como fuentes independientes.

Los elementos pasivos: Corresponden a los elementos de consumo de energía. En electricidad, los elementos pasivos fundamentales son la resistencia, la inductancia y la capacitancia.

Conexión en serie: La conexión en serie se produce cuando dos o más elementos pasivos de un circuito son atravesados por la misma corriente, como se puede apreciar en la figura que se muestra a continuación:

En esta figura la resistencia R1 está en serie con la resistencia R2. Estas dos resistencias pueden ser reemplazadas por una única resistencia equivalente. Esta resistencia equivalente, simplemente, es la suma de las resistencias en serie. De esta manera y para el circuito anterior:

REQUIVALENTE SERIE = R1 + R2

Para que el lector lo entienda más claramente, si REQUIVALENTE SERIE = R1 + R2 entonces el circuito anterior se puede reemplazar por el circuito que se presenta a continuación:

A nivel general, para n resistencias conectadas en serie se tiene:

REQUIVALENTE SERIE = R1 + R2 + R3 + R4 + .... + Rn

REQUIVALENTE SERIE = Σ Rj

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Rj es la jésima resistencia conectada en serie.

REQUIVALENTE SERIE es la resistencia equivalente que puede reemplazar al conjunto de resistencias conectadas en serie.

Igualmente, para n inductancias conectadas en serie se obtiene:

LEQUIVALENTE SERIE = L1 + L2 + L3 + L4 + .... + Ln

LEQUIVALENTE SERIE = Σ Lj

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Lj es la jésima inductancia conectada en serie.

LEQUIVALENTE SERIE es la inductancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de inductancias conectadas en serie.

Igualmente, para n impedancias conectadas en serie se obtiene:

ZEQUIVALENTE SERIE = Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + .... + Zn

ZEQUIVALENTE SERIE = Σ Zj

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Zj es la jésima impedancia conectada en serie.

ZEQUIVALENTE SERIE es la impedancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de impedancias conectadas en serie.

Conexión en paralelo: La conexión en paralelo se produce cuando dos o más elementos pasivos de un circuito están conectados a la misma diferencia de tensión, como se puede apreciar en la figura que se muestra a continuación:

En esta figura la resistencia R1 está en paralelo con la resistencia R2. Estas dos resistencias pueden ser reemplazadas por un única resistencia equivalente. Para calcular la resistencia equivalente en paralelo se debe tener en cuenta que: El inverso de la resistencia equivalente del paralelo es igual a la suma de los inversos de las resistencias que se encuentran conectadas en paralelo. Para el circuito anterior, se obtiene:

( 1 / REQUIVALENTE PARALELO ) = ( 1 / R1 ) + ( 1 / R2 )

Para el caso particular de dos resistencias en paralelo se obtiene:

( 1 / REQUIVALENTE PARALELO ) = ( R1 + R2 ) / ( R1 x R2 )

Despejando:

REQUIVALENTE PARALELO = ( R1 x R2 ) / ( R1 + R2 )

Ejemplo: Halle el valor de la resistencia equivalente en paralelo para el anterior circuito considerando que:

R1 = 10 Ohmios

R2 = 5 Ohmios

Solución:

REQUIVALENTE PARALELO = ( R1 x R2 ) / ( R1 + R2 )

Reemplazando:

REQUIVALENTE PARALELO = ( 10 x 5 ) / ( 10 + 5 )

REQUIVALENTE PARALELO = 3,33 Ohmios

Si REQUIVALENTE PARALELO = ( R1 x R2 ) / ( R1 + R2 ) entonces el circuito anterior se puede reemplazar por el circuito que se presenta a continuación:

A nivel general, para n resistencias conectadas en paralelo se tiene:

( 1 / REQUIVALENTE PARALELO ) = ( 1 / R1 ) + ( 1 / R2 ) + ( 1 / R3 ) + ( 1 / R4 ) + ....... + ( 1 / Rn )

( 1 / REQUIVALENTE PARALELO ) = Σ ( 1 / Rj )

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Rj es la jésima resistencia conectada en paralelo.

REQUIVALENTE PARALELO es la resistencia equivalente que puede reemplazar al conjunto de resistencias conectadas en paralelo.

Igualmente, para n inductancias conectadas en paralelo se obtiene:

( 1 / LEQUIVALENTE PARALELO ) = ( 1 / L1 ) + ( 1 / L2 ) + ( 1 / L3 ) + ( 1 / L4 ) + ....... + ( 1 / Ln )

( 1 / LEQUIVALENTE PARALELO ) = Σ ( 1 / Lj )

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Lj es la jésima inductancia conectada en paralelo.

LEQUIVALENTE PARALELO es la inductancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de inductancias conectadas en paralelo.

Igualmente, para n impedancias conectadas en paralelo se obtiene:

( 1 / ZEQUIVALENTE PARALELO ) = ( 1 / Z1 ) + ( 1 / Z2 ) + ( 1 / Z3 ) + ( 1 / Z4 ) + ....... + ( 1 / Zn )

( 1 / ZEQUIVALENTE PARALELO ) = Σ ( 1 / Zj )

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Zj es la jésima impedancia conectada en paralelo.

ZEQUIVALENTE PARALELO es la impedancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de impedancias conectadas en paralelo.

Tipos de señales en electricidad: Las fuentes de generación pueden producir corriente directa (Direct Current DC), también conocida como corriente continua (Constant Current CC), o pueden producir corriente alterna (Alternating Current AC), tal como se muestra a continuación:

La corriente directa DC se utiliza para alimentar los circuitos electrónicos de todos los equipos electrónicos como: Celulares, televisores, equipos de sonido, computadoras, etc. La corriente alterna AC es la que nos llega a la casa en los tomacorrientes y es la que circula por las redes de media tensión que vemos en la calle y las redes de alta y extra-alta tensión que están montadas en torres de transmisión que van de ciudad a ciudad. El presente curso de electricidad básica está orientado, especialmente, a la corriente alterna AC.

RMS: Significa Root Mean Square (en español: Raíz Media Cuadrática). RMS es el valor eficaz de una onda de tensión o corriente eléctrica. RMS es el valor que mide un voltímetro o un amperímetro, siendo el valor con el cual se realizan los cálculos y con el cual se establece el nivel de tensión o la corriente nominal de un equipo de consumo eléctrico. En términos matemáticos:

VRMS = VMáximo / RAIZ CUADRADA (2)

Donde:

VMáximo = Valor máximo de la onda.

VRMS = Valor RMS de la onda.

RAIZ CUADRADA (2) = 1,414213562373095

Lo anterior es equivalente a:

VRMS = VMáximo / RAIZ CUADRADA (2)

VRMS = 0,7071067811865475 x VMáximo

Para entenderlo mejor, el lector puede apreciar la imagen que se presenta a continuación:

Donde:

VM = VMáximo = Valor máximo de la onda.

VRMS = Valor RMS de la onda.

Ejemplo: Calcule el valor máximo de la onda de tensión cuyo valor RMS es igual 120 VAC.

Solución:

VRMS = VMáximo / RAIZ CUADRADA (2)

Despejando:

VMáximo = RAIZ CUADRADA (2) x VRMS

Reemplazando:

VMáximo = RAIZ CUADRADA (2) x 120

VMáximo = 169,7 V

120 VAC es el valor nominal de la tensión fase neutro para unidades de vivienda en Colombia. Lo anterior significa que el valor máximo de la onda de tensión para este valor RMS de tensión es igual a 169,7 V.

Frecuencia: Letra que identifica la variable = f. Unidad de medida = Herz (Hz). Es el número de veces que se repite la onda de tensión o corriente por cada segundo. La frecuencia del sistema eléctrico colombiano es igual a 60 Hz.

Fórmula matemática.

f = w / (2 π )

Donde:

f es la frecuencia en Hz.

w es la frecuencia angular en radianes / segundo.

π = 3,1415926535897932384626433832795

Frecuencia angular: Letra que identifica la variable = w.

Unidad de medida = radianes / segundo.

Es el número de radianes por segundo asociados a la onda de tensión o corriente.

Fórmula matemática.

w = 2 π f

Donde:

f es la frecuencia en Hz.

w es la frecuencia angular en radianes / segundo.

π = 3,1415926535897932384626433832795

Periodo: Letra que identifica la variable = T. Unidad de medida = segundo (s). Es el inverso de la frecuencia y corresponde a tiempo que transcurre entre dos crestas de onda de tensión o corriente.

Fórmula matemática.

T = 1 / f

Donde:

f es la frecuencia en Hz.

T es el periodo en segundos.

Para entender las anteriores definiciones, el lector puede apreciar las siguientes imágenes:

En la anterior imagen se puede apreciar una onda seno, donde en el eje de las ordenadas (eje vertical) se maneja una variable matemática desconocida que, en este caso, el autor llama v ó i y en el eje de las abcisas (eje horizontal) se maneja un ángulo dado en radianes. Las unidades de los ángulos están dadas por:

- Grados

- Radianes

De acuerdo a teoría matemática:

2 π radianes = 360°

De esta manera:

π radianes = 180°

Que es la relación matemática que se utiliza para convertir grados a radianes o radianes a grados. Algunos valores notables son:

π / 2 radianes = 90°

π / 4 radianes = 45°

3 π / 2 radianes = 270°

Uso del multímetro digital: En la imagen anterior se puede visualizar un multìmetro digital que para propósitos de electricidad nos permite medir, fundamentalmente, la tensión, la resistencia y la continuidad.

NOTA: No se puede olvidar que el multímetro digital no puede medir resistencia AC. El multímetro digital solo puede medir resistencia DC. Para saber el valor de la resistencia AC se debe dividir la tensión AC entre la corriente AC que atraviesa el correspondiente elemento resistivo.

No se recomienda el uso de multímetros para medir corriente eléctrica en redes eléctricas de baja tensión. Para esto último se utiliza la pinza voltiamperimétrica. En electrónica si se puede medir la corriente con el multímetro.

La opción de OFF del multímetro nos permite apagarlo. Para medir se conectan dos cables a las dos terminales en la parte inferior del multímetro, tal como se muestra en la figura anterior, y se mide haciendo contacto con los bornes o los cables a ser medidos en la escala correspondiente.

Medir continuidad es equivalente a medir un valor pequeño de resistencia. Esta medida nos indica si un cable o una conexión entre dos puntos tiene buena conducción entre los mismos dos puntos. Cuando no marca continuidad significa que no hay conducción entre los dos puntos bajo medida. Cuando existe continuidad entre dos puntos el multímetro debe emitir un sonido como el de un pito (siempre que la batería del multímetro este bien cargada). Otra forma de medir continuidad es midiendo resistencia en la escala más pequeña de 200 Ohmios. En este caso debe registrar un valor pequeño de resistencia. Si no registra ningún valor es porque no hay conducción entre los dos puntos.

NOTA: NUNCA JAMÁS SE PUEDE MEDIR TENSIÓN EN LA ESCALA DE RESISTENCIA O CON EL SELECTOR PUESTO EN EL PUNTO PARA MEDIR CONTINUIDAD SO PENA DE QUEMAR EL MULTÍMETRO O LA PINZA VOLTIAMPERIMÉTRICA.

NOTA: NUNCA JAMÁS SE PUEDE MEDIR RESISTENCIA EN UN CIRCUITO ENERGIZADO SO PENA DE QUEMAR EL MULTÍMETRO O LA PINZA VOLTIAMPERIMÉTRICA.

NOTA: NUNCA JAMÁS SE PUEDE MEDIR TENSIÓN EN UNA ESCALA DE TENSIÓN QUE ESTÉ POR DEBAJO DEL NIVEL DE TENSIÓN AL QUE SE VA A MEDIR. POR EJEMPLO: SI SE MIDE ENTRE DOS PUNTOS QUE REGISTRAN UNA DIFERENCIA DE TENSIÓN DE 440 VAC EN LA ESCALA DE 200 VAC, EL MULTÍMETRO TERMINARÁ QUEMADO. POR ESO, SIEMPRE SE RECOMIENDA LEER EN LA ESCALA MÁS ALTA (600 VAC). SI LA DIFERENCIA DE TENSIÓN MEDIDA EN LA ESCALA DE 600 VAC ESTÁ POR DEBAJO DE LOS 200 VAC, ENTONCES, SI SE PUEDE PASAR A LA ESCALA DE 200 VAC PARA OBTENER UNA MEDIDA MÁS EXACTA.

Para aclarar como se debe medir la diferencia de tensión entre dos puntos, el lector puede apreciar el video que aparece al dar click sobre el siguiente enlace:

https://www.youtube.com/watch?v=6elU3SAHNtY

El probador de fase: En la imagen anterior se puede visualizar un probador de fase. Este dispositivo sirve para detectar cual es la fase y cual es el neutro en un sistema polifásico en baja tensión. Simplemente, se oprime el botón amarillo y se toca el cable sin dejar de oprimir el botón amarillo. Con el botón amarillo oprimido el probador de fase debe iluminarse en su área blanca. Si no se ilumina es porque el probador de fase está bajo de batería y se le debe cambiar la pila para poderlo utilizar. Al tocar el cable, teniendo el probador de fase ok, si se escucha un sonido similar a un pito significa que es el cable de la fase. Si no se escucha un sonido similar a un pito es porque se trata del cable del neutro o de la tierra.

Forma alternativa de detectar la fase y el neutro: Una forma alternativa de detectar cuál es el conductor o el conector de la fase y cuál es el conductor o conector del neutro se encuentra fundamentada en la teoría de las instalaciones eléctricas, según la cual:

La tensión entre la fase y la tierra siempre será mayor que la tensión entre el neutro y la tierra

Esto se puede entender porque de acuerdo al CEC: Al neutro se le conoce como "el conductor puesto a tierra". A continuación se anexa el fragmento de la NTC 2050 que confirma esta afirmación:

"Conductor puesto a tierra (Grounded conductor): conductor de una instalación o circuito conectado intencionalmente a tierra. Generalmente es el neutro de un sistema monofásico o de un sistema trifásico en estrella."

Esto se verifica en todo medidor de energía activa de toda instalación eléctrica domiciliaria, donde el neutro debe estar conectado a la varilla del sistema de puesta a tierra con el fin de servir de referencia común al sistema eléctrico. Servir de referencia común al sistema eléctrico es una de las funciones de un sistema de puesta a tierra, tal como aparece escrito en el artículo 15 del RETIE, el cual se anexa a continuación:

"ARTÍCULO 15º. SISTEMA DE PUESTA A TIERRA

Toda instalación eléctrica que le aplique el RETIE, excepto donde se indique expresamente lo contrario, tiene que disponer de un Sistema de Puesta a Tierra (SPT), para evitar que personas en contacto con la

misma, tanto en el interior como en el exterior, queden sometidas a tensiones de paso, de contacto o transferidas, que superen los umbrales de soportabilidad del ser humano cuando se presente una falla

La exigencia de puestas a tierra para instalaciones eléctricas cubre el sistema eléctrico como tal y los apoyos o estructuras metálicas que ante una sobretensión temporal, puedan desencadenar una falla

permanente a frecuencia industrial, entre la estructura puesta a tierra y la red.

Los objetivos de un sistema de puesta a tierra (SPT) son: La seguridad de las personas, la protección de las instalaciones y la compatibilidad electromagnética.

Las funciones de un sistema de puesta a tierra son:

a. Garantizar condiciones de seguridad a los seres vivos.

b. Permitir a los equipos de protección despejar rápidamente las fallas.

c. Servir de referencia común al sistema eléctrico.

d. Conducir y disipar con suficiente capacidad las corrientes de falla, electrostática y de rayo.

e. Transmitir señales de RF en onda media y larga.

f. Realizar una conexión de baja resistencia con la tierra y con puntos de referencia de los equipos.

Se debe tener presente que el criterio fundamental para garantizar la seguridad de los seres humanos, es la máxima energía eléctrica que pueden soportar, debida a las tensiones de paso, de contacto o transferidas y no el valor de resistencia de puesta a tierra tomado aisladamente. Sin embargo, un bajo valor de la resistencia de puesta a tierra es siempre deseable para disminuir la máxima elevación de potencial o GPR (Ground Potential Rise)."

Si el neutro está inicialmente conectado a la tierra, la tensión que existe entre el neutro y la tierra en cualquier punto de la instalación eléctrica debería ser aproximadamente igual a cero Voltios. Por este concepto, la tensión entre la fase y la tierra siempre será mayor que la tensión entre el neutro y la tierra.

El electricista tiene dos conectores y no sabe cuál corresponde a la fase y cuál corresponde al neutro. Teniendo en cuenta lo previamente explicado, el electricista mide la tensión entre el primer conector y tierra y luego mide la tensión entre el segundo conector y tierra. El conector que presente la mayor tensión entre las dos lecturas tomadas será la fase y el conector que presente la menor lectura será el neutro.

Para que el lector lo pueda entender mejor, a continuación se anexa una imagen donde se muestra la forma correcta en la cual debe aparecer un tomacorriente monofásico horizontal en una instalación de baja tensión con los respectivos conductores que deben estar conectados a cada conector hembra del tomacorriente.

De acuerdo al RETIE y a la anterior imagen: Los conectores rectangulares hembra más grandes del tomacorriente deben aparecer arriba, los conectores rectangulares hembra más pequeños del tomacorriente deben aparecer abajo y los conectores hembra no rectangulares deben aparecer a la izquierda.

Si los conductores de fase y neutro están bien conectados, las dos lecturas de tensión V1 y V2, previamente descritas, tienen que registrar el comportamiento que se muestra en la figura que se presenta a continuación:

De la figura anterior se tiene que: La lectura V1 se toma entre el conector rectangular hembra más grande y la tierra. La tierra en este caso sería la pared sobre la cual está incrustado el tomacorriente o el nivel de piso terminado que está por debajo del tomacorriente bajo estudio. La lectura V2 se toma entre el conector rectangular hembra más pequeño y la tierra, la cual también corresponde a la descripción previamente relacionada.

Igualmente, se puede verificar si el tomacorriente está o no está bien conectado mediante el empleo del probador de fase, tal como fue explicado con anterioridad.

Leyes de Kirchhoff: Las leyes de Kirchhoff son fundamentales para la resolución de circuitos eléctricos en AC y en DC.

Ley de tensiones de Kirchhoff: La suma algebraica de las tensiones alrededor de una malla cerrada es igual a cero.

Σ Vj = 0

Donde Vj es la jotaésima diferencia de tensión que hace parte de la malla para la cual se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff.

Ejemplo: Para la malla del circuito que se presenta a continuación, escribir las fórmulas matemáticas asociadas a la Ley de tensiones de Kirchhoff.

Solución: La malla se analiza como si fuera un reloj. Para este caso, la malla del circuito bajo estudio corresponde a un "reloj rectangular" con cuatro lados y tres tensiones a ser sumadas algebraicamente. Tomando como positiva la tensión que va en el sentido de la manecillas del reloj y como negativa la tensión que va en sentido contrario a las manecillas del reloj, se obtiene la siguiente fórmula matemática de acuerdo a la ley de tensiones de Kirchhoff.

V - VR1 - VR2 = 0

Teniendo en cuenta la ley de Ohm para una resistencia, se obtiene:

VR1 = i R1

VR2 = i R2

Reemplazando:

V - VR1 - VR2 = 0

V - ( i R1 ) - ( i R2 ) = 0

Como V , R1 y R2 son valores normalmente conocidos, se puede despejar la corriente i sin ningún problema en la fórmula matemática previamente relacionada.

Ley de corrientes de Kirchhoff: La suma algebraica de las corrientes asociadas a un nodo es igual a cero.

Σ ij = 0

Donde ij es la jotaésima corriente que está asociada al nodo para el cual se aplica la ley de corrientes de Kirchhoff.

Ejemplo: Para la nodo del circuito que se presenta a continuación, escribir las fórmulas matemáticas asociadas a la Ley de corrientes de Kirchhoff.

Solución: Un nodo es un punto dentro de un circuito del cual salen y entran tres o más corrientes. Para este caso, el nodo de interés del circuito bajo estudio corresponde al punto color violeta señalado como NODO. Este nodo es el punto de encuentro de tres corrientes a ser sumadas algebraicamente. Tomando como positiva la corriente que entra al nodo y como negativa la corriente que sale del nodo, se obtiene la siguiente fórmula matemática de acuerdo a la ley de corrientes de Kirchhoff.

i - iR1 - iR2 = 0

Teniendo en cuenta la ley de Ohm para una resistencia, se obtiene:

iR1 = V / R1

iR2 = V / R2

Reemplazando:

i - iR1 - iR2 = 0

i - ( V / R1 ) - ( V / R2 ) = 0

Como V , R1 y R2 son valores, normalmente, conocidos se puede despejar la corriente i sin ningún problema en la fórmula matemática previamente relacionada.

Fórmulas de divisor de tensión y divisor de corriente: Unas expresiones matemáticas muy utilizadas en la teoría de circuitos eléctricos corresponden a las fórmulas de divisor de tensión y divisor de corriente. Estas fórmulas matemáticas son aplicables a resistencias y/o impedancias.

Divisor de tensión: En la figura que se presenta a continuación se pueden apreciar las fórmulas del divisor de tensión para resistencias.

Ejemplo: Para el circuito anterior, considere los siguientes valores:

V = 120 V

R1 = 20 Ohmios

R2 = 10 Ohmios

Calcular VR1 y VR2.

Solución:

VR1 = ( V R1 ) / ( R1 + R2 )

Reemplazando valores:

VR1 = ( 120 x 20 ) / ( 20 + 10 )

VR1 = 80 V

VR2 = ( V R2 ) / ( R1 + R2 )

Reemplazando valores:

VR1 = ( 120 x 10 ) / ( 20 + 10 )

VR1 = 40 V

Nótese que se cumple con la ley de tensiones de Kirchhoff, según la cual:

V - VR1 - VR2 = 0

120 - 80 - 40 = 0

EN CONCLUSIÓN: EN RESISTENCIAS O EN IMPEDANCIAS EN SERIE LA TENSIÓN TOTAL SE DIVIDE PROPORCIONALMENTE DE ACUERDO AL VALOR DE CADA RESISTENCIA O IMPEDANCIA CORRESPONDIENTE.

Ejercicio: Para el circuito de la figura anterior se tiene:

V = 120 V

VR1 = 100 V

VR2 = 20 V

Hallar el valor de R1 y R2.

Divisor de corriente: En la figura que se presenta a continuación se pueden apreciar las fórmulas del divisor de corriente para resistencias.

Ejemplo: Para el circuito anterior, considere los siguientes valores:

i = 4 A

R1 = 12 Ohmios

R2 = 5 Ohmios

Calcular: iR1 e iR2.

Solución:

iR1 = ( i R2 ) / ( R1 + R2 )

Reemplazando valores:

iR1 = ( 4 x 5 ) / ( 12 + 5 )

iR1 = 1,17647 A

iR2 = ( i R1 ) / ( R1 + R2 )

Reemplazando valores:

iR1 = ( 4 x 12 ) / ( 12 + 5 )

iR1 = 2,8235294 A

Nótese que se cumple con la ley de corrientes de Kirchhoff, según la cual:

i - iR1 - iR2 = 0

5 - 1,17647 - 2,8235294 = 0

EN CONCLUSIÓN: EN RESISTENCIAS O EN IMPEDANCIAS EN PARALELO LA CORRIENTE TOTAL SE DIVIDE PROPORCIONALMENTE DE ACUERDO AL VALOR DE LA RESISTENCIA O LA IMPEDANCIA OPUESTA.

Ejercicio: Para el circuito de la figura anterior se tiene:

i = 10,0 A

iR1 = 7,0 A

iR2 = 3,0 A

Hallar el valor de R1 y R2.

Fundamentos de la resolución de circuitos resistivos: Las leyes de Kirchhoff y todas las fórmulas previamente estudiadas son fundamentales para la resolución de circuitos resistivos tanto en AC como en DC. Un circuito resistivo solo está compuesto por una fuente de energía y resistencias. Los mismos métodos que se emplean para resolver circuitos resistivos son los mismos métodos que se utilizan para resolver circuitos en AC con impedancias. El concepto de impedancia es mucho más general que el concepto de resistencia. Existen dos métodos estructurados para la resolución de circuitos, a saber: Voltajes de nodo y corrientes de malla, los cuales, por su complejidad, serán estudiados más adelante.

Por el momento, se explica un ejemplo muy básico y elemental donde se aplican las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm para resolver el circuito que se muestra a continuación:

Para el circuito anterior se desea calcular: i0 , i1 , i23 , V0 , V1 , V2 y V3 , teniendo en cuenta los siguientes datos de entrada:

R0 = 10 Ohmios

R1 = 11 Ohmios

R2 = 12 Ohmios

R3 = 13 Ohmios

V = 120 V

Teniendo en cuenta que se busca calcular 7 variables tendría que plantearse a primera vista un sistema de 7 ecuaciones, lo cual resulta muy exagerado hacerlo desde el primer momento, si lo que se busca es enseñarlo a hacer de una forma pedagógica. En este sentido, es mejor realizar el cálculo por etapas. En una primera etapa se calculan las tres corrientes y en una segunda etapa se calculan las tensiones aplicando la ley de Ohm para una resistencia.

Para calcular las tres corrientes, se deben plantear 3 ecuaciones linealmente independientes. Para garantizar que las ecuaciones sean linealmente independientes se debe tener en cuenta que:

- Definiendo m = número de mallas del circuito, se tiene que el número máximo de ecuaciones no lineales que se pueden obtener de las mallas de un circuito eléctrico es igual a m - 1.

- Definiendo n = número de nodos del circuito, se tiene que el número máximo de ecuaciones no lineales que se pueden obtener de los nodos de un circuito eléctrico es igual a n - 1.

Para el circuito anterior se tiene:

m = 3

n = 2

En la figura que se muestra a continuación, el lector puede entender porque el circuito bajo estudio reúne tres mallas y dos nodos. No se puede olvidar que para este caso: La MALLA 3 contiene todos los elementos del circuito bajo estudio a excepción de la resistencia R1.

Por lo tanto:

( m - 1 ) = 2 (ecuaciones linealmente independientes correspondientes a Σ Vj = 0 )

( n - 1 ) = 1 (ecuación linealmente independiente correspondiente a Σ ij = 0 )

( m - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 + 1 = 3 ecuaciones linealmente independientes.

Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff para la MALLA 1 y la MALLA 2, se obtiene:

MALLA 1:

V - V0 - V1 = 0

Reemplazando:

V - ( i0 R0 ) - ( i1 R1 ) = 0

Despejando y organizando términos:

( i0 R0 ) + ( i1 R1 ) = V

Reemplazando valores:

10 i0 + 11 i1 = 120 (Ecuación No 1)

MALLA 2:

V1 - V2 - V3 = 0

Reemplazando:

( i1 R1 ) - ( i23 R2 ) - ( i23 R3 ) = 0

Organizando términos:

( i1 R1 ) - ( i23 ( R2 + R3 ) ) = 0

Reemplazando valores:

11 i1 - ( i23 ( 12 + 13 ) ) = 0

11 i1 - 25 i23 = 0 (Ecuación No 2)

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff para el NODO No 1, se obtiene:

i0 - i1 - i23 = 0 (Ecuación No 3)

Reescribiendo las tres ecuaciones con sus tres incógnitas se obtiene:

10 i0 + 11 i1 = 120 (Ecuación No 1)

11 i1 - 25 i23 = 0 (Ecuación No 2)

i0 - i1 - i23 = 0 (Ecuación No 3)

Reescribiendo las tres ecuaciones en forma matricial de acuerdo a la teoría del algebra lineal, se obtiene:

10	11	0		i0		120
0	11	-25	x	i1	=	0
1	-1	-1		i23		0

Escribiendo la anterior ecuación matricial en forma simplificada, se tiene:

[ R ] [ i ] = [ V ]

Donde:

La matriz [ R ] es igual a:

10	11	0
0	11	-25
1	-1	-1

La matriz [ i ] es igual a:

i23

La matriz [ V ] es igual a:

120

Resolviendo la anterior ecuación matricial, de acuerdo a la teoría del algebra lineal, se obtiene:

[ R ] [ i ] = [ V ]

Multiplicando a ambos lados por [ R ] ^-1 se obtiene:

[ R ] ^-1[ R ] [ i ] = [ R ] ^-1 [ V ]

[ i ] = [ R ] ^-1 [ V ]

Donde:

[ R ] ^-1 es la matriz inversa de la matriz de resistencias [ R ].

Para calcular la matriz inversa de una matriz lineal, como la previamente especificada, nada mejor que utilizar Microsoft Excel. El lector también puede hacer uso de la metodología tradicional que se explica en algebra lineal para invertir esta matriz. De esta manera y para el circuito bajo estudio, se obtiene que:

La matriz [ R ] ^-1 es igual a:

0,056692913	-0,017322835	0,433070866
0,039370079	0,015748031	-0,393700787
0,017322835	-0,033070866	-0,173228346

A través de Microsoft Excel es posible multiplicar dos matrices con números reales. De esta forma y realizando la operación de multiplicación de matrices para obtener los valores de la matriz de corrientes [ i ] , se obtienen los siguientes resultados:

[ i ] = [ R ] ^-1 [ V ]

i0		6,80314961
i1	=	4,72440945
i23		2,07874016

De esta manera, se obtiene:

i0 = 6,80314961 A

i1 = 4,72440945 A

i23 = 2,07874016 A

V0 = i0 x R0 = 6,80314961 x 10 = 68,0314961 V

V1 = i1 x R1 = 4,72440945 x 11 = 51,96850395 V

V2 = i23 x R2 = 2,07874016 x 12 = 24,94488192 V

V3 = i23 x R3 = 2,07874016 x 13 = 27,02362208 V

En realidad no hacen falta tantas cifras decimales en las respuestas para la solución de un problema de ingeniería. Esta cantidad de cifras decimales se escriben para que el lector pueda comprobar las leyes de Kirchhoff asociadas al circuito bajo estudio.

Ejercicio: Para el circuito que se presenta a continuación, calcular los siguientes valores: i0 , i1 , i23 , V0 , V1 , V2 , V3 y V4 .

Campo eléctrico: Letra que identifica la variable = E. Unidad de medida = Volt / metro. Es la variación negativa de la tensión con respecto a la distancia.

Fórmula matemática.

E = - dV / dl

Donde

E es el campo eléctrico en Volt / metro.

V es la tensión en Volt.

l es la distancia en metros.

Para aclarar el signo negativo de la fórmula E = - dV / dl el lector puede apreciar la imagen anterior. En esta imagen se aprecian dos cargas de signos opuestos. El campo eléctrico es un vector porque representa la fuerza por unidad de carga. Estas líneas de fuerza o líneas de campo eléctrico se mueven de izquierda a derecha. El potencial electrostático (mejor conocido como la diferencia de tensión) es un valor escalar que aumenta de derecha a izquierda. Esto significa que la dirección del campo eléctrico es contraria a la polaridad de la diferencia de tensión. Las líneas punteadas de color amarillo representan las líneas equipotenciales. El nivel de tensión es igual en todo punto de una línea equipotencial.

Para entender más claramente que es el campo eléctrico, el lector puede apreciar el video asociado al siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=LiESHUPEwXc

Ley de Coulomb:

F = [ ( q₁x q₂) / ( 4 π εo ) ] x ( 1 / r ²) ar

Donde q₁y q₂son dos cargas eléctricas puntuales separadas una distancia r y εo es la permitividad del vacío, que es igual a:

εo = 8,854 x 10^-12 Faradio / metro.

La fuerza F en este caso puede ser fuerza de atracción si las dos cargas tienen el mismo signo o de repulsión si las dos cargas son de signo contrario, tal como se muestra en la imagen que se presenta a continuación:

Ley de Gauss:

ʃ E . ds = q / εo

Donde:

La integral corresponde a una integral de superficie.

E es el campo eléctrico en Volt / metro.

ds es un diferencial de superficie.

q es la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana en Coulombs.

εo = 8,854 x 10^-12 Faradio / metro.

Cálculo del campo eléctrico de un conductor recto y energizado: Deduzca la fórmula matemática asociada al campo eléctrico de una línea recta de un conductor que se encuentra energizado.

Enunciando la ley de Gauss:

ʃ E . ds = q / εo

El campo eléctrico asociado a una línea energizada de longitud l es radial y perpendicular a la superficie gaussiana que se muestra en la figura anterior. Este campo eléctrico es igual en magnitud a una distancia r de la línea, como se muestra en la figura anterior. Por tanto, de acuerdo a la ley de Gauss se obtiene:

ʃ E . ds = q / εo

E ʃ ds = q / εo

El valor de la integral ʃ ds es igual al valor de la superficie gaussiana que se muestra sin tener en cuenta las tapas del cilindro gaussiano puesto que el campo eléctrico tiene una dirección radial. Así:

ʃ ds = 2 π r l

E 2 π r l = q / εo

E = q / (2 π r l εo)

q = C V

E = ( C V ) / (2 π r l εo) ar

Donde:

E es el campo eléctrico en Volt / metro.

C es la capacitancia en Faradios que existe entre el conductor recto y la tierra.

V es la diferencia de tensión en Volts entre el conductor y la tierra.

r es la distancia entre el conductor y el punto para el cual se quiere saber cuanto vale la magnitud del campo eléctrico.

l es la longitud del conductor en metros.

εo = 8,854 x 10^-12 Faradio / metro.

ar es el vector unitario de dirección en la dirección radial o perpendicular al conductor recto.

De la anterior expresión se puede inferir que: El campo eléctrico disminuye con la distancia r y el campo eléctrico es producido por la tensión V. Esta es la primera razón por la cual aparecen las distancias de seguridad en el RETIE. Como el campo eléctrico puede llegar a producir arco eléctrico (a cortas distancias) y cáncer (cuando las personas viven o trabajan permanentemente muy cerca de instalaciones de media y alta tensión) se deben guardar y respetar las distancias de seguridad.

Campo magnético: Letra que identifica la variable = B. Unidad de medida sistema MKS = Tesla (T). Unidad de medida sistema CGS = Gauss (G). Es el producto de la permeabilidad magnética por la intensidad magnética. Al campo magnético también se le conoce como densidad de flujo magnético por la fórmula que se presenta a continuación:

B = λ / A

Donde:

λ es el flujo magnético en Weber.

B es la densidad de flujo magnético en Teslas.

A es el área transversal que atraviesa el flujo magnético en metros cuadrados.

Fórmula matemática:

B = μ H (para un material magnético).

B = μo H (para el aire).

Donde:

B es el campo magnético en Teslas.

μo es permeabilidad del espacio libre que es casi igual a la permeabilidad del aire. Por eso, μo también se utiliza para el aire. μo es igual a:

μo = 4 π x 10^-7 (Tesla x metro) / amperio.

μ es la permeabilidad del medio magnético.

H es la intensidad magnética dada en Amperio / metro.

Para entender más claramente que es el campo magnético, el lector puede apreciar el video asociado al siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=XCbSF-ZenKo

Flujo magnético: Letra que identifica la variable = λ. Unidad de medida sistema MKS = Weber (Wb). Unidad de medida sistema CGS = Maxwell (Mx). Es el producto del campo magnético B multiplicado por el área transversal por el que circula el flujo.

Fórmula matemática.

λ = B x A

Donde:

λ es el flujo magnético en Weber.

B es el campo magnético en Teslas.

A es el área transversal que atraviesa el flujo magnético en metros cuadrados.

Intensidad magnética: Letra que identifica la variable = H. Unidad de medida sistema MKS = (Ampere espira) / metro. Unidad de medida sistema CGS = Oersted (Oe). Es el cociente entre el campo magnético dividido entre la permeabilidad magnética.

Fórmula matemática.

H = B / μ (para un material magnético)

H = B / μo (para el aire)

Ley de Ampere:

ʃ B . dl = μo i

Donde:

B es el campo magnético en Teslas.

ʃ B . dl es la integral de línea del campo magnético alrededor de una trayectoria cerrada.

μo es la permeabilidad del vacío, que en términos prácticos, es igual a la permeabilidad del aire.

μo = 4 π x 10^-7 (Tesla x metro) / amperio.

i es la corriente eléctrica que me produce el campo magnético.

Cálculo del campo magnético de un conductor recto: Deduzca la fórmula matemática asociada al campo magnético de una línea recta de un conductor que se encuentra energizado.

Para un conductor recto, por el que circula una corriente i, a una distancia r se produce un campo magnético constante que es tangencial y sigue la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura anterior. De esta manera, se tiene:

ʃ B . dl = μo i

B ʃ dl = μo i

En este caso el valor de la integral de línea es igual a la longitud de la circunferencia dada por la distancia r. De esta manera, se obtiene:

ʃ dl = 2 π r

B 2 π r = μo i

B = [ (μo i ) / ( 2 π r ) ] aθ

Donde aθ representa el vector tangencial a la trayectoria circular que recorre el campo magnético. De la formulación anterior se obtienen dos conclusiones muy importantes, a saber: El campo magnético disminuye con la distancia y el campo magnético es producido por la corriente eléctrica. Esta es la segunda razón por la cual aparecen las distancias de seguridad en el RETIE. Como el campo magnético puede llegar a producir cáncer (cuando las personas viven o trabajan permanentemente muy cerca de instalaciones de media y alta tensión) se deben guardar y respetar las distancias de seguridad.

Una imagen que sintetiza los resultados obtenidos hasta el momento corresponde a la que se muestra a continuación:

La pinza voltiamperimétrica: Es el instrumento, normalmente, utilizado para medir corriente AC en baja tensión. En la imagen anterior se puede apreciar una pinza voltiamperimétrica. La pinza puede abrirse y cerrarse para abrazar el conductor al cual se le va a medir la corriente AC que circula por él. Si se abrazaran dos conductores del mismo circuito, como la fase y neutro del mismo circuito monofásico, o las dos fases del mismo circuito bifásico, el campo magnético del primer conductor se anularía con el campo magnético del segundo conductor lo cual arrojaría una medición igual a cero para la corriente eléctrica. Por eso, normalmente, se debe abrazar y medir un solo conductor a la vez.

Un video que explica, claramente, como utilizar la pinza voltiamperimétrica corresponde al link que se muestra a continuación:

https://www.youtube.com/watch?v=VYLx9iyiBzs

El campo eléctrico y el campo magnético en el RETIE: El RETIE establece valores de máxima intensidad de campo eléctrico y densidad de flujo magnético en baja frecuencia para las zonas donde puedan permanecer personas, de acuerdo al tipo de actividad del ser humano. Lo anterior con el fin de garantizar que la salud de las personas no se vea afectada por la irradiación propia de los campos eléctrico y magnético.

Como ya se estudió:

El campo eléctrico es producido por la diferencia de tensión y el campo magnético es producido por la circulación de corriente.

El campo eléctrico, al igual que el campo magnético, corresponden a fuerzas que alteran el comportamiento de la materia.

Desde el punto de vista del campo eléctrico, se puede afirmar que:

E = F / q

Donde:

E es la magnitud del campo eléctrico en Volt / metro.

F es la fuerza en Newton.

q es la carga eléctrica en Coulomb.

Igualmente, se sabe que:

E = - dV / dl

Donde

E es el campo eléctrico en Volt / metro.

V es la tensión en Volt.

l es la distancia en metros.

De esta manera:

E = F / q

E = - dV / dl

Reemplazando:

F / q = - dV / dl

Despejando:

F = - q ( dV / dl )

La anterior fórmula matemática nos indica que:

- A mayor diferencia de tensión mayor magnitud de campo eléctrico.

- A mayor magnitud de campo eléctrico mayor magnitud de la fuerza en Newtons aplicada a los átomos de un material dieléctrico. En el caso de seres humanos: A mayor magnitud de campo eléctrico mayor magnitud de la fuerza en Newtons aplicada a las células de un ser humano.

- En conclusión: A mayor diferencia de tensión mayor magnitud de la fuerza en Newtons aplicada a las células de un ser humano.

El campo eléctrico en materiales dieléctricos produce un fenómeno conocido como polarización. Este fenómeno hace que las moléculas del material aislante se polaricen. Cuando las moléculas se polarizan, éstas se convierten en dipolos, tal como se muestra en la figura que se presenta a continuación:

En el caso particular del cuerpo humano, los elementos microscópicos que se polarizan, como consecuencia de un campo eléctrico, son las células del mismo ser humano. Las células de un ser humano ya tienen una polarización eléctrica definida y esta polarización celular es fundamental para:

- El desarrollo del organismo humano.

- La organogénesis.

- El funcionamiento de los órganos.

- La homeostasis.

La organogénesis es el conjunto de cambios que permiten que las capas embrionarias (ectodermo, mesodermo y endodermo) se transformen en los diferentes órganos que conforman un organismo humano.

La homeostasis es una propiedad de los organismos que consiste en su capacidad de mantener una condición interna estable compensando los cambios en su entorno mediante el intercambio regulado de materia y energía con el exterior (metabolismo). Se trata de una forma de equilibrio dinámico que se hace posible gracias a una red de sistemas de control realimentados que constituyen los mecanismos de autorregulación de los seres vivos. Ejemplos de homeostasis son la regulación de la temperatura y el balance entre acidez y alcalinidad (pH).

El campo eléctrico, en términos prácticos, es el cociente entre la tensión en Voltios y la distancia en metros. Como la tensión AC es sinusoidal, el campo eléctrico también es sinusoidal. Esto da como resultado que el campo eléctrico modifica la polarización celular de un ser humano a una frecuencia AC igual a 60 Hz (para el caso colombiano), lo cual puede volverse muy perjudicial para la salud humana cuando el mismo ser humano se encuentra expuesto permanentemente a altas diferencias de potencial, como la media y la alta tensión.

Desde el punto de vista del campo magnético, se tiene que:

λ = B x A

Donde:

λ es el flujo magnético en Weber.

B es el campo magnético en Teslas.

A es el área transversal que atraviesa el flujo magnético en metros cuadrados.

De acuerdo a la Ley de Faraday:

FEM = - dλ / dt

Donde:

FEM es la Fuerza Electromotriz en Volts. La FEM es la diferencia de tensión que se produce en los terminales de una espira conductora de corriente como resultado de la variación de la magnitud de un flujo magnético que circula a través de la espira.

λ es el flujo magnético en Weber.

Para entender más claramente la ley de Faraday, se anexa la siguiente figura:

Igualmente, se puede afirmar que la fuerza magnética producida por la interacción entre un campo magnético B y un conductor de longitud l por el que circula una corriente i es igual a:

F = ( i l ) x B

Donde:

F es la fuerza magnética en Newtons.

i es al magnitud de la corriente en Amperios.

l designa el vector de la dirección de la corriente cuya magnitud es igual a la longitud del conductor en metros por el cual circula la corriente i.

B es el campo magnético en Teslas.

x es el símbolo que representa el producto cruz o el producto vectorial entre dos vectores, el cual está dado por la ley de la mano derecha.

Si se considera un conductor por el que circula una corriente situado en el centro de un campo magnético, la fuerza que se ejerce sobre el conductor es la suma de las fuerzas que actúan sobre cada una de los diferenciales de longitud del conductor. En la siguiente figura se ilustra el efecto que tiene la presencia de un campo magnético sobre un alambre recto y largo. La fuerza magnética sobre un alambre cercano a un imán se pone en evidencia si se observa una desviación cuando se hace circular una corriente a través de él. El campo magnético se representa con puntos (·) en la siguiente figura indicando que apunta hacia fuera del papel.

Para entender el efecto patológico que sufre un ser humano a causa de un campo magnético intenso, se va a suponer un individuo que vive al lado de una línea de media tensión trifásica por la que circula una corriente que produce un campo magnético que está por encima de los valores máximos fijados por el RETIE. Como las tres fases de la línea de media tensión están separadas una distancia prudencial entre sí, no se puede afirmar que los campos magnéticos de las tres fases se anulan entre sí, cuando atraviesan el cuerpo del ser humano que observa los conductores de las tres fases desde el balcón de su casa a una corta distancia de la línea trifásica. De esta manera, se obtiene lo siguiente:

1. El campo magnético que atraviesa el cuerpo del individuo al multiplicarse por el área efectiva de una sección del cuerpo del ser humano da como resultado un flujo magnético λ ( λ = B x A ). Este flujo magnético varía sinusoidalmente con el tiempo por efecto de las tres corrientes sinusoidales que circulan por las correspondientes tres fases de la línea trifásica de media tensión. Esto genera una diferencia de potencial en cada "espira conductora" al interior del cuerpo del ser humano. En este caso, cada "espira conductora" correspondería a la unión de una arteria y una vena que alimenten un mismo órgano del cuerpo del individuo bajo estudio. Al haber una diferencia de tensión sinusoidal entre la punta de la arteria y la punta de la vena, también habría circulación de corriente por esta "espira conductora".

2. Al haber corriente circulando por un alto número de "espiras conductoras" por el cuerpo del ser humano y al existir la presencia de tres campos magnéticos producidos por los tres conductores de fase de la línea trifásica, no es extraordinario que se produzcan fuerzas mecánico-magnéticas sobre las arterias y las venas ( F = ( i l ) x B ) las cuales harían vibrar el sistema circulatorio del ser humano.

3. Los campos magnéticos intensos tienden a producir corrientes al interior del cuerpo humano, lo cual es nefasto desde todo punto de vista.

Por todo lo previamente expuesto es, completamente, normal que la exposición permanente a campos eléctricos y magnéticos intensos produzca distintos tipos de enfermedades, como leucemia, tumores, cancer, etc. El lector puede comprobar esta correlación al leer el contenido del artículo científico que aparece al dar click sobre el siguiente enlace:

http://www2.congreso.gob.pe/sicr/cendocbib/con4_uibd.nsf/21D8DFD5E6D3FFC805257C86005917FF/$FILE/Magazine_2004_44_4_44_4_5.pdf

Estas son las causas por las cuales el RETIE establece valores de máxima intensidad de campo eléctrico y densidad de flujo magnético en baja frecuencia para las zonas donde puedan permanecer personas, de acuerdo al tipo de actividad del ser humano. Los valores promedio de campo eléctrico y densidad de flujo magnético que atraviesan el cuerpo humano, dentro de toda instalación eléctrica en Colombia, deben estar por debajo de los valores de máxima intensidad de campo eléctrico y densidad de flujo magnético en baja frecuencia establecidos por el RETIE, para garantizar que la salud de las personas no se vea afectada por la irradiación propia de los campos eléctrico y magnético. Estos valores máximos se pueden apreciar en la tabla del RETIE que se muestra a continuación:

POR ESO, EN NINGÚN CASO SE PUEDE HACER UNA INSTALACIÓN ELÉCTRICA EN UN PREDIO RESIDENCIAL, COMERCIAL O INDUSTRIAL QUE NO RESPETE LAS DISTANCIAS DE SEGURIDAD FRENTE A UNA INSTALACIÓN DE MEDIA, ALTA O EXTRA-ALTA TENSIÓN PORQUE EN NINGÚN CASO SE PUEDE CUMPLIR CON LA TABLA 14.1 DEL RETIE. NO SE PUEDE HACER INSTALACIONES ELÉCTRICAS EN FINCAS O CASAS CAMPESTRES UBICADAS SOBRE EL ÁREA DE SERVIDUMBRE DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN (ES DECIR, DEBAJO DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN). NO SE PUEDE HACER INSTALACIONES ELÉCTRICAS EN VIVIENDAS, TIENDAS O ALMACENES QUE NO CUMPLAN CON LAS DISTANCIAS DE SEGURIDAD QUE SE DEBEN GUARDAR FRENTE A LÍNEAS AÉREAS DE MEDIA TENSIÓN.

Capacitancia: Letra que identifica la variable = C. Unidad de medida = Faradio (F). Es un dispositivo conformado por dos placas conductoras y un dieléctrico o aislante ubicado entre las dos placas. También designa el efecto capacitivo que está asociado al campo eléctrico correspondiente. A continuación se puede apreciar un capacitor de placas paralelas:

Fórmula matemática.

q = C V

Donde:

q es la carga eléctrica en Coulombs que se encuentra en la placa positiva del capacitor cuando el capacitor se encuentra energizado. En este caso, en la placa negativa del capacitor se encuentra una carga en Coulombs igual a - q.

C es la capacitancia en Faradios propia del capacitor.

V es la diferencia de tensión en Volts entre los terminales del capacitor.

Para una capacitancia también se cumple:

q = C V

Derivando a ambos lados:

dq / dt = C ( dV / dt )

dq / dt = i

Reemplazando:

i = C ( d V / d t )

Esta fórmula nos dice que la corriente que entra y sale de un capacitor es igual al producto de la capacitancia por la derivada de la tensión con respecto al tiempo.

En AC la variación o la derivada de la tensión con respecto al tiempo es diferente de cero y esto hace que exista una corriente que entra y que sale del capacitor, pero al interior del capacitor no puede haber circulación de corriente porque existe un material aislante entre las dos placas que impide el paso de corriente.

En DC la derivada de la tensión con respecto al tiempo es igual a cero. Por eso, la corriente que sale y que entra del capacitor es igual a cero y el capacitor se comporta como un circuito abierto en DC. Para entenderlo mejor se anexa la siguiente figura:

Admitancia: Letra que identifica la variable = Y. Unidad de medida = Siemens (S). Es el inverso de la impedancia.

Fórmula matemática.

Y = 1 / Z

Capacitancia y admitancia equivalentes en circuitos serie y paralelo: El comportamiento de la capacitancia equivalente y la admitancia equivalente para un conjunto de capacitancias o admitancias en serie o en paralelo es totalmente contrario al comportamiento de las resistencias o las inductancias.

Capacitancia equivalente de capacitores conectados en paralelo: A nivel general, para n capacitancias conectadas en paralelo se tiene:

CEQUIVALENTE PARALELO = C1 + C2 + C3 + C4 + .... + Cn

CEQUIVALENTE PARALELO = Σ Cj

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Cj es la jésima capacitancia conectada en paralelo.

CEQUIVALENTE PARALELO es la capacitancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de capacitancias conectadas en paralelo.

Admitancia equivalente de admitancias conectadas en paralelo: A nivel general, para n admitancias conectadas en paralelo se tiene:

YEQUIVALENTE PARALELO = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + .... + Yn

YEQUIVALENTE PARALELO = Σ Yj

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Yj es la jésima admitancia conectada en paralelo.

YEQUIVALENTE PARALELO es la admitancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de admitancias conectadas en paralelo.

Capacitancia equivalente de capacitores conectados en serie: A nivel general, para n capacitancias conectadas en serie se tiene:

( 1 / CEQUIVALENTE SERIE ) = ( 1 / C1 ) + ( 1 / C2 ) + ( 1 / C3 ) + ( 1 / C4 ) + ....... + ( 1 / Cn )

( 1 / CEQUIVALENTE SERIE ) = Σ ( 1 / Cj )

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Cj es la jésima capacitancia conectada en serie.

CEQUIVALENTE SERIE es la capacitancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de capacitancias conectadas en serie.

Admitancia equivalente de admitancias conectadas en serie: A nivel general, para n admitancias conectadas en serie se tiene:

( 1 / YEQUIVALENTE SERIE ) = ( 1 / Y1 ) + ( 1 / Y2 ) + ( 1 / Y3 ) + ( 1 / Y4 ) + ....... + ( 1 / Yn )

( 1 / YEQUIVALENTE SERIE ) = Σ ( 1 / Yj )

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

j varía entre 1 y n.

Yj es la jésima admitancia conectada en serie.

YEQUIVALENTE SERIE es la admitancia equivalente que puede reemplazar al conjunto de admitancias conectadas en serie.

Efecto capacitivo en los sistemas eléctricos: Para entender la importancia de la capacitancia en los sistemas eléctricos nada mejor que analizar el circuito RC en estado transitorio, tal como se muestra a continuación:

Inicialmente, se tiene un circuito desenergizado y conformado por una resistencia y una capacitancia en serie. Una vez se cierra el interruptor switch la capacitancia comienza a cargarse electroestáticamente hasta adquirir una tensión igual a la tensión de alimentación Vo. En DC y en estado estable, las capacitancias se comportan como circuitos abiertos y las inductancias se comportan como cortocircuitos. Para verificarlo, se resuelve el circuito RC mostrado con anterioridad. De acuerdo a la ley de tensiones de Kirchhoff, se obtiene:

Vo - VR - Vc = 0

Despejando:

Vo = VR + Vc

Se debe tener en cuenta que:

q = C Vc

Despejando:

Vc = (1 / C) q

i = dq / dt

i dt = dq

dq = i dt

Despejando y reemplazando:

q = ʃ i dt

Vc = (1 / C) q

Vc = (1 / C) ʃ i dt

Además por la Ley de Ohm para una resistencia se tiene:

VR = i R

Reemplazando en la fórmula inicial:

Vo = VR + Vc

Vo = i R + (1 / C) ʃ i dt

Derivando a ambos lados se obtiene:

0 = R ( di / dt ) + ( i / C )

La cual corresponde a una ecuación diferencial de fácil resolución. Teniendo en cuenta que para t = 0 se tiene que:

i = Vo / R

Se obtiene la solución que se presenta a continuación para la anterior ecuación diferencial:

i (t) = (Vo / R) e^{- (t /}^RC)

Donde:

Vo es igual a la tensión de alimentación.

R es el valor de la resistencia R en Ohmios.

C es el valor de la capacitancia C en Faradios.

e es la base de los logaritmos naturales.

e = 2,718281828

Nótese que cuando el tiempo tiende a infinito la corriente se hace cero porque la capacitancia en estado estable y en DC se convierte en un circuito abierto y en un circuito abierto es imposible el paso de corriente. Se debe tener en cuenta que:

Vc = (1 / C) ʃ i dt

Reemplazando se obtiene:

Vc = (1 / C) ʃ (Vo / R) e^{- (t /}^{RC )} dt

Resolviendo la anterior integral entre t = 0 y t = infinito, se obtiene que:

Vc ( t = infinito ) = Vo

Lo cual representa un resultado importantísimo que todo trabajador de la electricidad debe recordar como:

EL EFECTO CAPACITIVO ASOCIADO A UN EQUIPO DE CONSUMO ELÉCTRICO CUANDO ESTÁ ENERGIZADO HACE QUE LA CARCAZA METÁLICA DEL EQUIPO DE CONSUMO ELÉCTRICO SE CARGUE ELECTROESTÁTICAMENTE CON UNA CARGA EN COULOMBS. ESTA CARGA EN COULOMBS, QUE SE MANIFIESTA COMO UNA DIFERENCIA DE TENSIÓN EN VOLTIOS ENTRE LA CARCAZA Y LA TIERRA, TIENE QUE SER DESCARGADA Y LLEVADA A TIERRA MEDIANTE UN CABLE PARA EVITAR QUE EL CUERPO DE UN SER HUMANO QUE TENGA CONTACTO DIRECTO CON TIERRA SIRVA COMO MEDIO PARA LA CONDUCCIÓN DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA A TIERRA CUANDO LA PERSONA TOCA LA CARCAZA METÁLICA DEL EQUIPO DE CONSUMO ELÉCTRICO. ESTA ES LA RAZÓN POR LA CUAL SE UTILIZA EL CABLE DE TIERRA EN LAS INSTALACIONES ELÉCTRICAS. POR ESO, EL CABLE DE TIERRA AL INTERIOR DE LOS ELECTRODOMÉSTICOS SIEMPRE DEBE ESTAR CONECTADO A LA CARCAZA DE LOS MISMOS EQUIPOS DE CONSUMO ELÉCTRICO.

Para entender el proceso de descarga de un capacitor, se va a suponer que el interruptor switche, en el circuito presentado con anterioridad, se abre. En este caso, el capacitor conserva la tensión Vo porque el capacitor conserva las cargas + q y - q en sus dos terminales. La única forma posible de eliminar estas peligrosas cargas + q y - q es llevándolas a tierra mediante un cable. Para simplificar el problema matemático asociado, se supone un cable de resistencia R con una reactancia inductiva despreciable frente a la resistencia R del cable. De este modo, se obtiene el siguiente circuito:

De acuerdo a la ley de corrientes de Kirchhoff, se obtiene:

0 = iR + ic

Se debe tener en cuenta que:

q = C Vc

Para este caso en particular:

V = VR = Vc

Reemplazando:

q = C V

Derivando a ambos lados:

dq / dt = C ( dV / dt )

dq / dt = ic

Reemplazando:

ic = C ( d V / d t )

Por la ley de Ohm para una resistencia, se obtiene:

VR = i R

Reemplazando y despejando:

V = iR R

iR = V / R

Reemplazando en la fórmula inicial, se tiene:

0 = iR + ic

0 = ( V / R ) + C ( dV / dt )

La cual corresponde a una ecuación diferencial de fácil resolución. Teniendo en cuenta que para t = 0 se tiene que V = Vo se obtiene la solución que se presenta a continuación para la anterior ecuación diferencial:

V (t) = Vo e^{- ( t /}^{RC )}

Donde:

Vo es igual a la tensión del capacitor que se encuentra inicialmente cargado.

R es el valor de la resistencia R del conductor en Ohmios.

C es el valor de la capacitancia C en Faradios.

e es la base de los logaritmos neperianos.

e = 2,718281828

Nótese que cuando transcurre un determinado lapso de tiempo la tensión se hace cero porque la capacitancia se descarga y la tensión en el capacitor se hace igual a cero. Como después de un lapso de tiempo ya no hay diferencia de tensión, tampoco puede haber corriente. Esto se puede comprobar si se tiene en cuenta que:

iR = V / R

V (t) = Vo e^{- ( t /}^{RC )}

Reemplazando:

iR (t) = ( Vo / R ) e^{- ( t /}^{RC )}

Una gráfica que ilustra el comportamiento de la corriente como consecuencia de la descarga de un capacitor es el siguiente:

CUANDO LO QUE SE UTILIZA PARA DESCARGAR EL EFECTO CAPACITIVO DE UNA INSTALACIÓN ELÉCTRICA NO ES UN CABLE PUESTO A TIERRA, SINO EL CUERPO DE UN SER HUMANO, CUALQUIER ACCIDENTE FATAL PUEDE OCURRIR, ESPECIALMENTE, SI SE TRATA DE INSTALACIONES INDUSTRIALES DE BANCOS DE CONDENSADORES, O PEOR AÚN, INSTALACIONES EN MEDIA TENSIÓN, COMO CELDAS O LÍNEAS DE MEDIA TENSIÓN. EN ESTOS CASOS, NO IMPORTA QUE SE HAYA HECHO EL CORTE DEL SUMINISTRO DE ENERGÍA, SIEMPRE SE DEBE DESENERGIZAR LA INSTALACIÓN PARA GARANTIZAR CARGA EN COULOMBS IGUAL A CERO. LA GRÁFICA DEL COMPORTAMIENTO DE LA CORRIENTE QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA ANTERIOR ES UNA ADVERTENCIA DE LO QUE PUEDE OCURRIR SI NO SE DESENERGIZA PREVIAMENTE LOS BANCOS DE CONDENSADORES Y LAS INSTALACIONES EN MEDIA TENSIÓN. EN EL CASO DE INSTALACIONES EN BAJA TENSIÓN, COMO CIRCUITOS RAMALES O TABLEROS DE DISTRIBUCIÓN, CON CORTAR EL SUMINISTRO DE ENERGÍA ES SUFICIENTE PORQUE EL NIVEL DE TENSIÓN QUE SE MANEJA ES RELATIVAMENTE BAJO Y PARA INSTALACIONES NUEVAS SIEMPRE SE CUENTA CON EL SISTEMA DE PUESTA A TIERRA.

Caso de estudio del efecto capacitivo en baja tensión: Considere una lavadora conectada a 120 VAC con una porción de su carcaza sin pintura. La lavadora no está prendida pero si está conectada al tomacorriente. Considere que la lavadora tiene cuatro patas puestas sobre el piso y estas cuatro patas están hechas de un material no metálico, que para efectos eléctricos se trata de un material aislante o dieléctrico. Considere que la lavadora tiene cable de tierra internamente conectado a carcaza de la misma lavadora, pero la vivienda de la casa no cuenta con un sistema de puesta a tierra. Considere un niño descalzo que se acerca a la lavadora energizada y toca con la mano la porción de la carcaza de la lavadora que no tiene pintura. Describa esta situación desde el punto de vista eléctrico y describa las consecuencias de esta situación desde el punto de vista del riesgo eléctrico asociado.

Solución: En la figura que se presenta a continuación se puede apreciar la situación antes relacionada con el respectivo circuito eléctrico asociado.

Antes que nada, es conveniente definir que es un SPT. De acuerdo al RETIE un SPT se define como:

"SISTEMA DE PUESTA A TIERRA (SPT): Conjunto de elementos conductores continuos de un sistema eléctrico específico, sin interrupciones, que conectan los equipos eléctricos con el terreno o una masa metálica. Comprende la puesta a tierra y la red equipotencial de cables que normalmente no conducen corriente."

Como se puede apreciar, existe un efecto capacitivo entre el conductor de fase y la carcaza metálica puesto que entre los dos existe un dieléctrico que es el aire al interior de la lavadora. Existe otro efecto capacitivo entre la carcaza metálica y tierra puesto que entre los dos existe un dieléctrico que corresponde a las cuatro patas de la lavadora. Una vez el niño toca la carcaza de la lavadora, la resistencia equivalente del niño (1000 ohmios) se encuentra conectada en paralelo con la capacitancia CARCAZA-TIERRA, como se puede apreciar en la figura anterior. Como el cable de tierra de la lavadora no está conectado a ningún sistema de puesta a tierra porque la vivienda no cuenta con un sistema de puesta a tierra, se tiene que: La tensión de 120 VAC se divide proporcionalmente entre las dos capacitancias previamente descritas. La capacitancia que tenga asociada un mayor valor de reactancia capacitiva tendrá un mayor valor de tensión y la que tenga asociada un menor valor de reactancia capacitiva tendrá un menor valor de tensión. La suma de las tensiones de las dos capacitancias será igual a 120 VAC.

La capacitancia FASE-CARCAZA tiene dos capacitancias que se encuentran conectadas en serie, a saber:

La capacitancia cilíndrica entre la superficie del cobre del conductor de la fase y la superficie del aislamiento del conductor de la fase. Esta capacitancia es igual a:

Ccobre-aislamiento = ( 2 π ε l ) / LN ( rmax / r )

La capacitancia entre superficie del aislamiento del conductor de la fase y la carcaza de la lavadora.

Caislamiento-carcaza = ( 2 π εo l ) / LN ( D / rmax )

Donde:

l es la longitud del conductor de la fase dentro de la lavadora.

εo = 8,854 x 10^-12 Faradio / metro.

ε es la permitividad del dieléctrico del conductor de la fase. Para una constante dieléctrica típica de aislamiento de cables igual a 2,5 se obtiene:

ε = 2,5 εo

LN( ) es la función matemática de logaritmo natural.

π = 3,1415926535897932384626433832795

r es radio interno del conductor de la fase correspondiente a la superficie del cobre.

rmax es radio exterior del conductor de la fase correspondiente a la superficie del aislamiento.

D es la distancia entre el centro del conductor de la fase y la carcaza metálica de la lavadora.

No es extraordinario suponer que el conductor de la fase esté sobrepuesto sobre la superficie de la carcaza metálica de la lavadora, teniendo en cuenta que este conductor debe alimentar primero que todo a la tarjeta de encendido, apagado y control de la lavadora. En este caso, la capacitancia FASE-CARCAZA sería igual a:

CFASE-CARCAZA = ( 2 π ε l ) / LN ( rmax / r )

Reemplazando:

CFASE-CARCAZA = ( 2 π ( 2,5 x εo ) l ) / LN ( rmax / r )

CFASE-CARCAZA = 5 π εo l / LN ( rmax / r )

Suponiendo valores típicos e iguales a:

l = 1 m

rmax / r = 1,05

CFASE-CARCAZA = (20,5 x 5 π εo )

CFASE-CARCAZA = 102,5 π εo

CFASE-CARCAZA = 322,014 εo

La capacitancia CARCAZA-TIERRA sería igual a 4 veces la capacitancia de una pata de la lavadora porque las cuatro patas están conectadas en paralelo y las capacitancias en paralelo se suman. Se puede decir que la capacitancia de una sola pata de la lavadora es aproximadamente igual a la capacitancia de dos placas paralelas con un dieléctrico entre ellas. De esta forma, se obtiene:

CCARCAZA-TIERRA = 4 x CPLACAS PARALELAS

CPLACAS PARALELAS = ( ε A ) / d

CCARCAZA-TIERRA = ( 4 ε A ) / d

Donde:

A es el área transversal promedio de la pata de la lavadora

d es la altura de la pata de la lavadora.

ε es la permitividad del dieléctrico de la pata de la lavadora. Para una constante dieléctrica típica de aislamiento igual a 2,5 se obtiene:

ε = 2,5 εo

Suponiendo valores típicos, se obtiene:

A = 4 centímetros cuadrados = 4 x (0,01)² metros cuadrados

A = 4 x 10^-4 metros cuadrados

d = 2 centímetros = 0,02 metros = 2 x 10^-2 metros cuadrados

Reemplazando:

CCARCAZA-TIERRA = ( 4 ε A ) / d

CCARCAZA-TIERRA = ( 4 ε x 4 x 10^-4 ) / 2 x 10^-2

CCARCAZA-TIERRA = 8 x 10^-2 ε

ε = 2,5 εo

Reemplazando:

CCARCAZA-TIERRA = 8 x 10^-2 ( 2,5 x εo )

CCARCAZA-TIERRA = 20 x 10^-2 x εo

CCARCAZA-TIERRA = 2 x 10^-1 x εo

CCARCAZA-TIERRA = 0,2 εo

En AC la reactancia inductiva es igual a:

XL = w L

Donde:

XL es la reactancia inductiva en Ohmios.

w es la frecuencia angular en radianes / segundo.

L es la inductancia en Henrios.

En AC la reactancia capacitiva es igual a:

XC = - 1 / ( w C )

Donde:

XC es la reactancia capacitiva en Ohmios.

w es la frecuencia angular en radianes / segundo.

C es la capacitancia en Faradios.

De esta manera, se obtiene:

XC = - 1 / ( w C )

XCARCAZA-TIERRA = - 1 / ( w CCARCAZA-TIERRA )

XFASE-CARCAZA = - 1 / ( w CFASE-CARCAZA )

Teniendo en cuenta las fórmulas que aparecen en la figura anterior, se comprueba que: La capacitancia que tenga asociada un mayor valor de reactancia capacitiva tendrá un mayor valor de tensión y la que tenga asociada un menor valor de reactancia capacitiva tendrá un menor valor de tensión. Para el caso bajo estudio:

CFASE-CARCAZA = 322,014 εo

CCARCAZA-TIERRA = 0,2 εo

Por tanto, se tiene que:

CFASE-CARCAZA es mucho mayor que CCARCAZA-TIERRA

CFASE-CARCAZA >> CCARCAZA-TIERRA

Como la reactancia capacitiva es inversamente proporcional a la capacitancia, tomando los valores absolutos de las reactancias capacitivas se obtiene:

|XFASE-CARCAZA | es mucho menor que |XCARCAZA-TIERRA |

|XFASE-CARCAZA | << |XCARCAZA-TIERRA |

Analizando el circuito de la figura precedente para el instante inmediatamente anterior a que el niño toque la porción de la carcaza que no tiene pintura, y como conclusión del análisis previamente realizado sobre |XFASE-CARCAZA | y |XCARCAZA-TIERRA |, se obtiene:

VFASE-CARCAZA es mucho menor que VCARCAZA-TIERRA

VFASE-CARCAZA << VCARCAZA-TIERRA

Como:

120 = VFASE-CARCAZA + VCARCAZA-TIERRA

En conclusión, se tiene que:

VFASE-CARCAZA = 0 V

VCARCAZA-TIERRA = 120 V

LO CUAL SIGNIFICA QUE EL NIÑO RECIBIRÍA INICIALMENTE UNA DIFERENCIA DE TENSIÓN IGUAL A 120 VAC ENTRE LA MANO Y EL PIE, LO CUAL ES SUMAMENTE GRAVE, PORQUE PARA EL INSTANTE CORRESPONDIENTE A UN TIEMPO = 0 SEGUNDOS POR EL CUERPO DEL NIÑO CIRCULARÍA UNA CORRIENTE IGUAL A:

iniño (t = 0) = 120 / 1000 = 0,12 A

iniño (t = 0) = 0,12 A x ( 1000 mA / 1 A )

iniño (t = 0) = 120 mA

iniño (t = 0) = 120 miliamperios

Esta misma intensidad de corriente es la que recibiría de forma permanente un electricista cuando éste, de forma accidental, con una mano desnuda toca el cable energizado de la fase y con la otra mano desnuda toca el cable del neutro en una instalación residencial en baja tensión. Para entender la gravedad de esta intensidad de corriente, nada mejor que apreciar un fragmento del numeral 9.1 de Electropatología tomado del RETIE.

Si la corriente previamente calculada (120 miliamperios) llegara a circular por espacio de un solo segundo por el cuerpo del electricista, esta persona entraría como mínimo en la zona 5 de la Figura 9.1, en la cual el electricista tendría una probabilidad de un 50% de sufrir una fibrilación ventricular. La fibrilación ventricular consiste en el movimiento anárquico del corazón, el cual no sigue su ritmo normal y deja de enviar sangre a los distintos órganos. Si la corriente previamente calculada (120 miliamperios) llegara a circular por espacio de dos segundos por el cuerpo del electricista, esta persona entraría en la zona 6 de la Figura 9.1, en la cual el electricista experimentaría: Paro cardiaco, paro respiratorio y quemaduras severas, lo cual, en términos prácticos, es la muerte por electrocución.

POR ESTE CONCEPTO, TODO ELECTRICISTA ESTÁ EN LA OBLIGACIÓN DE USAR TODOS LOS ELEMENTOS DE PROTECCIÓN PERSONAL EN EL MOMENTO DE CONSTRUIR O REPARAR UNA INSTACIÓN ELÉCTRICA. SI EL ELECTRICISTA ESTÁ OBLIGADO A TRABAJAR EN CALIENTE EN UNA RED DE BAJA TENSIÓN, ÉSTE DEBE HACER USO DE LOS GUANTES DIELÉCTRICOS PARA EVITAR LA MUERTE POR ELECTROCUCIÓN QUE SE EXPLICÓ CON ANTERIORIDAD. OBVIAMENTE, SI EL ELECTRICISTA ESTÁ OBLIGADO A TRABAJAR EN CALIENTE EN UNA RED DE BAJA TENSIÓN, ÉSTE DEBE TENER MUCHO CUIDADO DE NUNCA UNIR EL CABLE DE LA FASE CON EL CABLE DEL NEUTRO O UNIR EL CABLE DE LA FASE CON LA TIERRA PARA EVITAR UN CORTOCIRCUITO QUE PODRÍA OCASIONAR: UNA EXPLOSIÓN, OTRO TIPO DE ACCIDENTE PARA EL MISMO ELECTRICISTA Y UN DAÑO DENTRO DE LA CORRESPONDIENTE INSTACIÓN ELÉCTRICA.

A continuación se puede apreciar una foto de una pareja de guantes dieléctricos:

Regresando, nuevamente, al caso bajo estudio, el niño al tocar la porción de la carcaza de la lavadora sin pintar sentiría, inicialmente, un fuerte corrientazo porque:

iniño (t = 0) = 120 miliamperios

Esta intensidad de corriente disminuiría rápidamente en cuestión de unos milisegundos y por el cuerpo del niño seguiría circulando de forma permanente la corriente de estado estable, la cual será objeto de cálculo más adelante. Lógicamente, la corriente de estado estable es menor que los 120 miliamperios previamente calculados, pero esto no quiere decir que esta situación tan desagradable y peligrosa no se hubiera podido evitar. Si la vivienda de la casa hubiera tenido un sistema de puesta a tierra, la tensión inicial entre la carcaza y la tierra hubiera sido muy pequeña porque la resistencia del conductor de tierra de la instalación interna de la casa sumada a la resistencia de la malla de puesta a tierra estarían en paralelo con la reactancia capacitiva XCARCAZA-TIERRA (como se muestra en la siguiente figura), lo cual arrojaría una impedancia resultante muy pequeña, la cual generaría una tensión inicial entre la carcaza y la tierra muy pequeña. Además, la suma de la resistencia del conductor de tierra de la instalación interna de la casa más la resistencia de puesta a tierra sería mucho menor que la resistencia del niño (1000 Ohmios). Como la corriente eléctrica siempre sigue el camino de menor resistencia, la corriente que percibiría el niño sería totalmente imperceptible e inofensiva para este menor de edad. Para que lector pueda entender lo previamente explicado más claramente, se anexa el circuito correspondiente al caso bajo estudio con el sistema de puesta a tierra asociado:

EN CONCLUSIÓN: EL SISTEMA DE PUESTA A TIERRA (SPT) NO PUEDEN FALTAR EN NINGUNA INSTALACIÓN ELÉCTRICA.

Para completar el análisis del presente caso bajo estudio, se calculará la corriente de estado estable (o corriente de estado permanente) que circularía por el niño en ausencia de un sistema de puesta a tierra (SPT). Inicialmente por el niño circularía una corriente igual a 120 mA. Pasados unos pocos milisegundos, por el niño circularía la corriente de estado permanente. Para saber cuántos milisegundos transcurren entre los 120 mA iniciales y la corriente de estado estable habría que resolver la correspondiente ecuación diferencial para estado transitorio. Esto último se deja de tarea para el lector que esté interesado. Para el caso bajo estudio, se tiene que:

CFASE-CARCAZA = 322,014 εo

CCARCAZA-TIERRA = 0,2 εo

εo = 8,854 x 10^-12 Faradio / metro.

Reemplazando:

CFASE-CARCAZA = 322,014 ( 8,854 x 10^-12 )

CFASE-CARCAZA = 2851,112 x 10^-12 F

CCARCAZA-TIERRA = 0,2 ( 8,854 x 10^-12 )

CCARCAZA-TIERRA = 1,7708 x 10^-12 F

XC = - 1 / ( w C )

XCARCAZA-TIERRA = - 1 / ( w CCARCAZA-TIERRA )

XFASE-CARCAZA = - 1 / ( w CFASE-CARCAZA )

Donde:

w es la frecuencia angular en radianes / segundo.

w = 2 π f

Donde:

f es la frecuencia en Hz. Para el sistema eléctrico colombiano f = 60 Hz.

π = 3,1416

Reemplazando:

w = 2 π f

w = 2 x 3,1416 x 60

w = 377 rad / segundo

CCARCAZA-TIERRA = 1,7708 x 10^-12 F

XC-CARCAZA-TIERRA = - 1 / ( w CCARCAZA-TIERRA )

Reemplazando:

XCARCAZA-TIERRA = - 1 / ( 377 x 1,7708 x 10^-12 )

XCARCAZA-TIERRA = - 1497921783,32 Ohmios

CFASE-CARCAZA = 2851,112 x 10^-12 F

XFASE-CARCAZA = - 1 / ( w CFASE-CARCAZA )

Reemplazando:

XFASE-CARCAZA = - 1 / ( 377 x 2851,112 x 10^-12 )

XFASE-CARCAZA = - 930345,7366 Ohmios

RSER HUMANO = 1000,0 Ohmios

De esta manera, el circuito en estado estable a ser resuelto para calcular la corriente de estado permanente sería el que se muestra a continuación:

Donde:

j = RAIZ CUADRADA ( - 1 )

ZCARCAZA-TIERRA es la impedancia equivalente del paralelo de XCARCAZA-TIERRA y RSER HUMANO.

La teoría de circuitos relacionada con el cálculo que se presenta a continuación tiene que ver con la teoría de fasores, la cual se explica con mayor detalle en la parte final del presente curso de electricidad básica. De esta manera, aplicando la teoría de fasores se obtiene:

1 / ZCARCAZA-TIERRA = ( 1 / ( j XCARCAZA-TIERRA ) ) + ( 1 / RSER HUMANO )

Despejando:

ZCARCAZA-TIERRA = ( j XCARCAZA-TIERRA x RSER HUMANO ) / ( j XCARCAZA-TIERRA + RSER HUMANO )

ZCARCAZA-TIERRA = 1000 + 0,0006676 j

Aplicando la fórmula del divisor de tensión presentada en la figura anterior:

VCARCAZA-TIERRA = (120 x ZCARCAZA-TIERRA ) / ( ZCARCAZA-TIERRA + j XFASE-CARCAZA )

VCARCAZA-TIERRA = (120 x (1000 + 0,0006676 j ) ) / ( 1000 + 0,0006676 j - 930345,7366 j )

Expresando el resultado del cociente complejo solamente como una magnitud en Voltios, se obtiene:

| VCARCAZA-TIERRA | = 0,128984 V

Por la ley de Ohm para una resistencia, se obtiene:

iniño en estado estable = iniño (t = infinito) = (0,128984 / 1000) A

iniño en estado estable = iniño (t = infinito) = 0,128984 mA

Esto significa que la corriente en estado estable (estado permanente) que pasaría por el cuerpo del niño no representaría ningún riesgo para el menor de edad porque esta intensidad de corriente se clasifica en la zona 1 de la Figura 9.1 del RETIE, donde no existe ningún tipo de riesgo para la salud humana. Vale la pena que el lector calcule el tiempo que le toma a la corriente pasar de 120 mA a 0,128984 mA para saber que tanto peligro real existe para la salud del individuo.

Inductancia: Letra que identifica la variable = L. Unidad de medida = Henry (H). Es un conductor que forma un arrollamiento o devanado sobre un núcleo que puede ser de aire o de material ferromagnético. También designa el efecto inductivo que está asociado al campo magnético correspondiente.

Fórmula matemática.

L = dλ / di

La inductancia se define como la derivada del flujo magnético con respecto a la corriente.

Donde:

L es la magnitud de la inductancia en Henry.

λ es el flujo magnético en Weber.

i es la corriente que circula por la bobina en Amperios.

En la figura anterior se pueden apreciar dos bobinas. La bobina de la izquierda tiene como núcleo el aire. La bobina de la derecha tiene como núcleo un material ferromagnético. Esta última bobina corresponde a un toroide.

Toda bobina presenta un calentamiento cuando una corriente circula por el devanado. Este calentamiento se modela mediante una resistencia. A continuación se muestra el circuito de una bobina alimentada por una fuente de tensión AC, donde R representa el efecto resistivo de la bobina y L representa la autoinductancia de la misma bobina.

De acuerdo a la teoría electromagnética y al anterior circuito bajo estudio:

Σ FEM = VR

Donde:

Σ es el símbolo de sumatoria.

FEM es la Fuerza Electromotriz en Voltios

VR es la tensión en la resistencia en Voltios.

El concepto de Fuerza electromotriz FEM está asociado, especialmente, a la tensión entregada por la fuente de energía que alimenta el circuito. La FEM también se define como: La diferencia de tensión que se produce en los terminales de una espira conductora de corriente como resultado de la variación de la magnitud de un flujo magnético que circula a través de la espira. En el caso de una bobina, el devanado en sí mismo reúne un buen número de espiras y el campo magnético que circula por el devanado al ser multiplicado por el área interna del mismo devanado produce un flujo magnético.

POR ESO, EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO: LA INDUCTANCIA REPRESENTA EL CAMPO MAGNÉTICO, LA CAPACITANCIA REPRESENTA EL CAMPO ELÉCTRICO Y LA RESISTENCIA REPRESENTA EL CALENTAMIENTO DE LOS CONDUCTORES Y EL CONSUMO DE ENERGÍA ACTIVA.

De esta manera y aplicando la ley de Faraday al circuito bajo estudio, se obtiene:

Σ FEM = VR

Σ FEM = V - ( dλ / dt ) = VR

Despejando:

V = ( dλ / dt ) + VR

Multiplicando y dividiendo el primer término del lado derecho por un diferencial de corriente (di) se obtiene:

V = [ ( dλ / dt ) ( di / di ) ] + VR

Intercambiando denominadores en el primer término de la derecha se obtiene:

V = [ ( dλ / di ) ( di / dt ) ] + VR

Por definición:

L = dλ / di

Reemplazando:

V = [ L ( di / dt ) ] + VR

Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff al circuito bajo estudio, se obtiene:

V - VL - VR = 0

Despejando:

V = VL + VR

V = [ L ( di / dt ) ] + VR

Comparando las dos fórmulas matemáticas anteriores, se llega a la conclusión que:

VL = L ( di / dt )

La anterior fórmula define la tensión en una inductancia pura VL . De esta forma: La tensión en una inductancia es igual al producto de la inductancia multiplicada por la derivada de la corriente con respecto al tiempo.

Al analizar el circuito RL alimentado por una fuente de tensión DC, se encuentra que en estado estable en DC una inductancia se comporta como un cortocircuito. Las bobinas juegan un papel muy importante en la ingeniería eléctrica porque gracias a ellas es posible el funcionamiento de los transformadores, motores y generadores, sin los cuales sería imposible la prestación del servicio de suministro de energía eléctrica y la operación de la mayoría de las industrias y el sector productivo en general.

Factor de potencia: Expresión matemática = COSENO (θ).

Unidad de medida = adimensional.

Es el coseno del ángulo que existe entre la tensión y la corriente asociadas a una misma carga eléctrica o elemento de consumo de energía eléctrica.

Fórmula matemática.

COSENO (θ) = Pmonofásica / (VFN x i )

Para la figura anterior se tiene:

U es la tensión aplicada a la carga.

I es la corriente que consume la carga.

COSENO (ϕ) es el factor de potencia asociado a la carga.

Representación Matemática de las ondas de tensión y corriente eléctrica: Las ondas de tensión y corriente se representan mediante fasores. Un fasor es una flecha que representa una onda de tensión o corriente cuya magnitud es igual al valor RMS de la correspondiente onda de tensión o corriente a un ángulo que es igual al desfase existente entre la respectiva onda y los 0º o los 0 radianes.

Para entender la Representación Matemática de las ondas de tensión y corriente eléctrica, nada mejor que apreciar los diferentes tipos de elementos de consumo eléctrico o cargas eléctricas.

Carga resistivo-inductiva. Este es el tipo de carga más usual que existe. Esta carga está representada por una reactancia inductiva en serie con una resistencia. La gran mayoría de las cargas eléctricas pueden ser representadas mediante cargas resistivo-inductivas, desde un motor hasta un centro comercial, un edificio, una ciudad, etc. En este caso, la tensión adelanta a la corriente un ángulo que está entre 90 a 0 grados. Para entender, matemáticamente, que es una carga resistivo inductiva nada mejor que apreciar las siguientes figuras:

Carga resistiva pura. Esta carga está representada por una resistencia. En una resistencia la tensión está en fase con la corriente. Ejemplos de cargas resistivas son: Una estufa eléctrica, un horno, una plancha, una sanduchera, una greca, etc. Para entender, matemáticamente, que es una carga resistiva pura nada mejor que apreciar las siguientes figuras:

Carga inductiva pura. Esta carga está representada por una inductancia pura o una reactancia inductiva pura. En una inductancia la tensión adelanta 90 grados la corriente. Un ejemplo de carga inductiva pura sería un reactor en una subestación del Sistema de Transmisión Nacional (STN). Para entender, matemáticamente, que es una carga inductiva pura nada mejor que apreciar las siguientes figuras:

Carga capacitiva pura. Esta carga está representada por una capacitancia pura o una reactancia capacitiva pura. En una capacitancia la corriente adelanta 90 grados la tensión. Un ejemplo de carga capacitiva pura sería un banco de condensadores.

Carga resistivo-capacitiva. Esta carga está representada por una reactancia capacitiva en serie con una resistencia. Este tipo de carga se puede presentar cuando un banco de condensadores se encuentra operando a pesar de que no hay carga conectada en paralelo con el banco. En este caso, la corriente medida correspondería a una corriente que adelanta la tensión.

LEYES DE OHM:

Ley de Ohm para una resistencia:

V = i R

Ley de Ohm para corriente alterna:

V = Z i

Ley de Ohm para electromagnetismo:

J = g E

Donde:

V es la diferencia de tensión en Voltios que se aplica entre los terminales de la carga eléctrica.

i es la corriente en Amperios que consume la carga eléctrica.

Z es la impedancia en Ohmios de la carga eléctrica.

g es la conductividad en Siemens / metro.

J es la densidad de corriente en Amperio / metro cuadrado.

E es el campo eléctrico en Volt / metro.

Impedancia: Letra que identifica la variable = Z. Unidad de medida = Ohmio (Ω). Es la oposición al paso de la corriente en corriente alterna AC.

Fórmula matemática.

Z = V / i

Z = R + j X

j = RAIZ CUADRADA ( - 1 )

| Z | = RAIZ CUADRADA ( R² + XL²)

Donde:

R es la resistencia equivalente de la carga en Ohmios.

XL es la reactancia inductiva equivalente de la carga en Ohmios.

| Z | es la magnitud de la impedancia de la carga en Ohmios.

Reactancia inductiva: Letra que identifica la variable = XL. Unidad de medida = Ohmio (Ω). Es la componente de la impedancia que representa el consumo de energía reactiva dado por un efecto inductivo o campo magnético.

Fórmula matemática.

XL = w L

Donde:

XL es la reactancia inductiva equivalente de la carga en Ohmios.

w es la frecuencia angular en radianes / segundo.

L es el valor de la inductancia en Henry.

Reactancia capacitiva: Letra que identifica la variable = Xc. Unidad de medida = Ohmio (Ω). Es la componente de la impedancia que representa la entrega de energía reactiva dada por un efecto capacitivo o campo eléctrico.

Fórmula matemática.

Xc = - 1 / ( w C )

Donde:

XC es la reactancia capacitiva en Ohmios.

w es la frecuencia angular en radianes / segundo.

C es el valor de la capacitancia en Faradios.

Admitancia: Letra que identifica la variable = Y. Unidad de medida = Siemens (S). Es el inverso de la impedancia.

Fórmulas matemáticas.

Y = 1 / Z

Y = G + j B

Donde:

j = RAIZ CUADRADA ( - 1 )

Z es la impedancia en Ohmios.

G es la conductancia en Siemens.

B es la susceptancia en Siemens.

Y es la admitancia en Siemens.

Conductancia: Letra que identifica la variable = G. Unidad de medida = Siemens (S). Es el inverso de la resistencia.

Fórmula matemática.

G= 1 / R

Susceptancia: Letra que identifica la variable = B. Unidad de medida = Siemens (S). Es el inverso de la reactancia.

Fórmula matemática.

B = 1 / X

Sistemas trifásicos: Un sistema trifásico es un sistema de producción, distribución y consumo de energía eléctrica que utiliza tres fases. Un sistema trifásico está compuesto por tres corrientes AC. A cada una de estas corrientes se le llama fase. Un sistema trifásico de tensiones es balanceado cuando sus corrientes son iguales y están desfasadas simétricamente el equivalente a 120 grados eléctricos (120º = 360° / 3). Cuando alguna de estas condiciones no se cumple se dice que el sistema está desbalanceado. A continuación se ilustra los diagramas fasoriales y las ondas de tensión asociadas a un sistema trifásico tetrafilar.

Donde:

El conductor amarillo representa la fase A o la fase amarilla.

El conductor azul representa la fase B o la fase azul.

El conductor rojo representa la fase C o la fase roja.

El conductor negro representa el neutro N.

Donde:

VAB, VCA y VBC son tensiones línea a línea.

VAN, VCN y VBN son tensiones fase neutro.

La tensión línea a línea es la tensión entre fase y fase. La tensión fase neutro es la tensión entre el conductor de la fase y el conductor del neutro.

Las relaciones existentes entre la magnitud de una tensión fase neutro y una tensión línea a línea son:

VLL = RAIZ CUADRADA(3) x VFN

VFN = VLL / RAIZ CUADRADA(3)

Donde:

VLL es la tensión línea a línea en Volt.

VFN = es la tensión fase neutro en Volt.

RAIZ(3) = 1.7320508075688772935274463415059

Potencia activa: Letra que identifica la variable = P. Unidad de medida = Watt. Es la potencia que produce un trabajo útil.

Fórmulas matemáticas.

Potencia activa monofásica para una carga diferente de motor:

P1Φ = VFN i ( cos(θ) )

Potencia activa monofásica para un motor:

P1Φ = VFN i ( cos(θ) ) η

Donde η es la eficiencia del motor.

Potencia activa bifásica para una carga diferente de motor:

P2Φ = VLL i ( cos(θ) )

Potencia activa bifásica para un motor:

P2Φ = VLL i ( cos(θ) ) η

Donde η es la eficiencia del motor.

Potencia activa trifásica para una carga diferente de motor:

P3Φ = RAIZ(3) VLL i ( cos(θ) )

Potencia activa trifásica para un motor:

P3Φ = RAIZ(3) VLL i ( cos(θ) ) η

Donde:

VFN es la tensión fase neutro en Volts.

VLL es la tensión línea a línea en Volts.

η es la eficiencia del motor.

cos(θ) es el factor de potencia de la carga.

i es la corriente que consume la carga.

RAIZ(3) = 1.7320508075688772935274463415059

Ejemplo: Se tiene un instalación monofásica alimentada por un circuito ramal y conformada por 20 lámparas de 12 Watt cada una a un factor de potencia igual a 0,9. Cada lámpara tiene asignada una tensión nominal igual a 120 VAC. Hallar la corriente nominal del circuito ramal.

Solución:

Potencia activa monofásica para una carga diferente de motor:

P1Φ = VFN i ( cos(θ) )

Despejando:

i = P1Φ / (VFN cos(θ) )

i = (20 x 12) / ( 120 x 0,9 )

i = 2,22 A

La corriente que nominalmente debe circular por este circuito ramal es igual a 2,22 A

Ejemplo: Se tiene la placa de un motor trifásico que se muestra a continuación. De acuerdo a la placa de características: La corriente nominal para una tensión línea a línea igual a 220 VAC es igual a 9,3 A y la corriente nominal del motor para una tensión línea a línea igual a 380 VAC es igual a 5,38 A. Demuestre que la corriente para 380 VAC es igual a 5,38 A.

Solución: Se aplica la fórmula de la potencia activa trifásica para un motor. Esta fórmula es:

P3Φ = RAIZ(3) VLL i ( cos(θ) ) η

i = P3Φ / ( RAIZ(3) VLL ( cos(θ) ) η )

Donde:

P3Φ = 2,2 kW = 2200 Watt

VLL = 380 V

cos(θ) = 0,73

η = 85 % = 0,85

Reemplazando:

i = 2200 / ( RAIZ(3) x 380 x 0,73 x 0,85 )

i = 5,3868 A

Que es un valor muy parecido al que aparece en la placa de características (5,38 A).

Potencia reactiva: Letra que identifica la variable = Q. Unidad de medida = Voltio Amperio reactivo (VAr). Es la potencia asociada al campo eléctrico o magnético.

Fórmulas matemáticas.

Qmonofásica = VFN i seno (θ)

Qbifásica = VLL i seno (θ)

Qtrifásica = RAIZ(3) VLL i seno (θ)

Potencia aparente: Letra que identifica la variable = S. Unidad de medida = Voltio Amperio (VA). Es la suma fasorial de la potencia activa y reactiva.

Fórmulas matemáticas.

Smonofásica = VFN i

Sbifásica = VLL i

Strifásica = RAIZ CUADRADA (3) VLL i

S = P + j Q

Magnitud de la potencia aparente = S = RAIZ CUADRADA (P² + Q²)

Donde:

VFN es la tensión fase neutro en Volts.

VLL es la tensión línea a línea en Volts.

i es la corriente que consume la carga en Amperios.

P es Potencia activa en Watts.

Q es Potencia reactiva en VAr.

RAIZ(3) = 1,732

Para entender más claramente las formulas matemáticas anteriores, el lector puede apreciar el triángulo de potencias que se presenta a continuación:

De la figura anterior se tiene que:

COSENO ( ϕ ) es el factor de potencia asociado a la carga.

Del triángulo anterior, y de acuerdo a la trigonometría, también se obtiene que:

COSENO ( ϕ ) = P / S

SENO ( ϕ ) = Q / S

TANGENTE ( ϕ ) = Q / P

Ejemplo: Calcule la corriente nominal de un circuito ramal con 5 tomacorrientes en una vivienda residencial de acuerdo al RETIE y al CEC.

Solución: De acuerdo al CEC un tomacorriente consume nominalmente una potencia aparente igual a 180 VA. De esta manera:

STOTAL = 180 x 5

STOTAL = 900 VA

De acuerdo a la fórmula matemática previamente relacionada:

Smonofásica = VFN i

Para este caso:

Smonofásica = 900 VA

VFN = 120 VAC

i es la corriente nominal del circuito ramal.

De esta forma, se obtiene:

Smonofásica = VFN iNOMINAL

Despejando:

iNOMINAL = Smonofásica / VFN

Reemplazando:

iNOMINAL = 900 / 120

iNOMINAL = 7,5 A

Ejemplo: Para la placa de características del motor previamente mostrada, calcule la potencia reactiva nominal en kVAr.

Solución: De acuerdo a la placa de características del motor:

P3Φ = 2,2 kW = 2200 Watt

Para una tensión línea a línea igual a 380 V, se tiene:

iNOMINAL = 5,38 A

De acuerdo a la fórmula matemática previamente relacionada:

Strifásica = RAIZ CUADRADA (3) VLL i

Reemplazando:

Strifásica = RAIZ CUADRADA (3) x 380 x 5,38

Strifásica = 3541 VA

De acuerdo a la fórmula matemática previamente relacionada:

S = RAIZ CUADRADA (P² + Q²)

Elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado, se tiene:

S² = P² + Q²

Despejando:

Q² = S² - P²

Q = RAIZ CUADRADA (S² - P²)

Reemplazando:

Q = RAIZ CUADRADA (3541² - 2200²)

Q = 2774,65 VAr

Q = 2774,65 VAr x ( 1 kVAr / 1000 VAr )

Q = 2,77465 kVAr

Cuestionario de repaso: Resuelva el siguiente cuestionario de acuerdo a los temas vistos con anterioridad.

1. Defina las siguientes variables eléctricas, escribiendo sus respectivas unidades de medida, la letra que las identifica y sus correspondientes fórmulas matemáticas: Carga eléctrica, tensión, corriente, resistencia, impedancia, frecuencia, frecuencia angular, periodo, reactancia inductiva, reactancia capacitiva, admitancia, conductancia, susceptancia, campo eléctrico, campo magnético, flujo magnético, intensidad magnética, capacitancia, inductancia, factor de potencia, potencia activa, potencia reactiva, potencia aparente, triángulo de potencias y triángulo de impedancia.

2. Enuncie las siguientes leyes con su respectiva fórmula matemática: Ley de Ohm para una resistencia, ley de Ohm para corriente alterna, ley de Ohm para electromagnetismo, ley de Coulomb, ley de Gauss, ley de Ampere, ley de Faraday, las leyes de Kirchhoff, las fórmulas del divisor de tensión para resistencias, las fórmulas del divisor de corriente para resistencias, la fórmula de la tensión en una inductancia, la fórmula de la corriente en una capacitancia, la relación entre la tensión fase-neutro y la tensión línea a línea, las fórmulas de las potencias activas monofásica, bifásica y trifásica, las fórmulas de las potencias reactivas monofásica, bifásica y trifásica y las fórmulas de las potencias aparentes monofásica, bifásica y trifásica.

3. Deduzca la fórmula matemática asociada al campo eléctrico y magnético de una línea recta de un conductor que se encuentra energizado. Especifique cuál es la dirección del campo eléctrico y el campo magnético y cuáles conclusiones se pueden extraer de las fórmulas matemáticas asociadas al campo eléctrico y al campo magnético.

4. Explique los diferentes tipos de carga eléctrica y enuncie el desfasaje entre la tensión y la corriente para cada tipo de carga eléctrica.

5. ¿Qué representa la resistencia, la inductancia y la capacitancia en un circuito?

6. Explique mediante un ejemplo ¿Cómo se calculan las tensiones y las corrientes en un circuito resistivo ?

7. ¿Qué es la derivada de una función? ¿Qué es la integral?

8. Enuncie las fórmulas de fuerza, energía y potencia con sus respectivas letras de identificación y unidades de medida.

9. Explique, mediante la teoría de carga eléctrica q dada en Coulombs, ¿cómo se produce la corriente eléctrica?

10. ¿Qué representa la pérdida de potencia de Joule? y ¿Cuál es la fórmula de la pérdida de potencia de Joule?

11. ¿Qué es un cortocircuito? y ¿Qué es un circuito abierto?

12. Defina: Elementos activos, elementos pasivos, conexión en serie y conexión en paralelo.

13. Enuncie las fórmulas matemáticas de: Resistencia equivalente en serie y paralelo, inductancia equivalente en serie y paralelo, impedancia equivalente en serie y paralelo, capacitancia equivalente en serie y paralelo y admitancia equivalente en serie y paralelo.

14. ¿Qué significa DC? ¿Qué significa AC? ¿Qué significa RMS?

15. ¿Cuáles precauciones se deben tener a la hora de medir tensión con un multímetro?

16. Describa las dos alternativas para determinar cuál es la fase y cuál es el neutro en un tomacorriente o en una instalación en baja tensión.

17. Cómo se debe presentar y conectar un tomacorriente a 120 VAC en posición horizontal en una instalación residencial?

18. ¿Qué se debe tener en cuenta a la hora de medir corriente con un pinza voltiamperimétrica?

19. ¿Cuál fenómeno me produce el campo eléctrico? ¿Cuál fenómeno me produce el campo magnético?

20. ¿Por qué un campo eléctrico intenso y permanente puede afectar la salud de un ser humano? ¿Por qué un campo magnético intenso y permanente puede afectar la salud de un ser humano?

21. ¿Por qué razones el RETIE establece distancias de seguridad y máximos valores permitidos de campo eléctrico y magnético para los seres humanos?

22. ¿Por qué razón no se puede realizar ningún tipo de trabajo eléctrico en viviendas localizadas muy cerca de instalaciones eléctricas en media, alta y extra-alta tensión?

23. En DC y en estado estable: ¿Cómo se comporta una inductancia y cómo se comporta una capacitancia?

24. De acuerdo al RETIE: ¿Cuáles son las funciones del Sistema de Puesta a Tierra (SPT)?

25. ¿Por qué el SPT protege la integridad física y la salud de los seres humanos en instalaciones de baja tensión?

26. En caso de reparación o mantenimiento de instalaciones eléctricas, y después de haber cortado el suministro de energía eléctrica, ¿Por qué se deben llevar a tierra: Los conductores de una instalación de media tensión (línea de media tensión, celda de media tensión, etc.) y los conductores de un banco de condensadores en baja tensión?

27. Suponga un electricista, que a mano limpia, con una mano coge el cable energizado de la fase y con la otra mano coge el cable del neutro. Suponga que la tensión fase neutro en ese momento es igual a 120 VAC. ¿Qué le puede pasar a este electricista después de sujetar los dos cables durante: 1 segundo, 2 segundos, 1 minuto? ¿Qué le puede pasar a este mismo electricista después de sujetar los dos cables con los dos guantes dieléctricos puestos en las dos manos durante: 1 segundo, 2 segundos, 1 minuto?

28. Mediante los diagramas fasoriales de las tensiones línea a línea y fase neutro explique: ¿Qué es un sistema trifásico?

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